榆林学院本科毕业论文
b3f??(?2)?a3f??(?1)?f??(?).
b3?a3所以
?baf(x)dx?bf(b)?af(a)?121[bf?(b)?a2f?(a)]?(b3?a3)f??(?). 2!3!2.9 近似计算与误差估计
泰勒公式对已知的函数在给定点的附近用多项式近似表达所给函数的公式.例如：ex，sinx，cosx，ln(x?1)，(1?x)n等几个常用的基本初等函数在x?0点的展开式，因此可以对其式在误差允许的范围内进行近似计算并进行误差估计.
例17 计算50.
分析 把50改写成50?49?1?71?数f(x)?1?x的展开式. 若展开到x的一次项
f(x)?f(0)?f?(0)x?R2(x) 这里 R2(x)?因为 f(x)??211(1?x)3? ，f?(x)?，f??(x)?1?x?421?x11，先计算1?，因此先求出函4949f??(c)2x 0?c?x 2 f(0)?1，f?(0)?则
1 21x 2?P1(x)?f(0)?f(0)x?1?所以
1?(x)?f(0)?f(0x)??1 x 1?x?P1227
泰勒公式的应用
1?111?1???1.010204. 49249有了上面的讨论，现在来估计误差.
R2(x)?f??(c)21x??(1?c)?2/3x2 0?c?x 2!8R2(11111)?(1?c)?2/32??2?0.0001?10?4. 49849849如果要求误差不超过0.01或0.001，则上述近似公式已达到了要求；如果要求误差不超过10?5，则不能使用上述公式了，还需要进一步把f(x)多展开几项.例如，展开到含有x的二次项
f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)2f???(0)3x?R3(x) R3(x)?x 0?c?x 23!再进一步算出
311f??(0)??1/4，f???(x)?(1?x)?2/3，P2(x)?1?x?x2
828得
1?x?1?1111111x?x2，1??1????2?1.010151 2849249849R3(x)??f???(c)31111x?(1?c)?2/3x3?R3()?(1?c)?2/3?3 3!1649164911?3?10?5. 1649因而如果要求误差不超过10?5，则用P2(x)作近似就行了，把算出的近似值乘上7就得到50的近似值.
一般地，如果预先给定一个精度的要求，例如要求误差不超过正数，则需要
f(n)(c)考虑不等式Rn(x)?(x?x0)n??（上例中x0?0）为了达到上述要求，通
n!常这样考虑：如果x预先给定（上例中x?1），则需要规定n，使保证上述不等49式成立，一般说来，n越大，精确度越高，但计算也变得复杂（因为对应的多项式二次数也越高）.通常在保证满足精确度的要求下，尽量把n取小些；如果预先已经确定n，即预先限定用多少次多项式作近似，则为了能达到所要求的精确度，
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需从上述不等式确定x的适用范围.
例18 求定积分?sinxdx的近似值. 0x1解 该被积函数的原函数不是初等函数，故用N?L公式是无法求出其精确解的，而若用泰勒展开则能方便的求出其近似解.
sinx?x?xx??3!5!2435sin(?x?7!sin(?x?7!7?)2x7 7?)2x6
sinxxx?1???x3!5!所以 因为
sin(?x?故 其中 R?7?)?1 2sinxxx1dx?(x??)|0??0?0x3?3!5?5!135sin(?x?17!7?)2x6dx
sinx1111111111dx?1???????1?????0.09461 ?0x3!35!57!73!35!5111??0.5?10?3. 7!7实际上，能够精确计算定积分的函数只是大量函数中很少的一部分.在实际计算定积分时大量采用的是近似计算的方法，而在这其中运用泰勒公式对某些函数的定积分进行近似计算不失为一种很好的方法.
例19 求正弦曲线y?sinx(0?x??)的弧长，并精确到0.01. 解 弧长
s????01?y?dx?2?21?cos2xdx
02111?3?2?21?cos2x?2cos4x?3cos6x??dx
022?2!2?3!由于
???20cos2nxdx??(2n)!22n?1?n!?n!
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泰勒公式的应用
则
???21??4!1?3135s?2(?4?????)??(1?????) 257222!?22?2!?2!2?3!?3!464256如取上述写出的诸项近似表示弧长s的值，则其误差为
0???3?5?2?8!1?? 4!?2429?4!?4!102于是
?1 s?3.14(0.?250.?05?0.02.
这样就得到了符合精度要求的结果.
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3 结束语
泰勒公式是微积分中一个重要内容，其核心是用简单的多项式高精度地逼近
一些复杂的函数，从而便于函数的研究.本论文首先简要阐述泰勒公式基本理论的基础上，其次重点总结介绍了泰勒公式在上述方面中的应用及技巧，最后，通过典型例题予以具体阐述与说明.
由此可知，泰勒公式在计算和证明中的应用的确是非常广泛而重要的，它在解决数学问题中具有非常明显的简化解题步骤的作用.除了能够进行近似计算和误差估计，也可用以计算函数极限，讨论正项级数收敛性，计算行列式，等等.本文详细介绍了泰勒公式在以上九个方面的应用，藉此拓宽解题思路，利于今后寻找更加新颖的计算证明方法，具有一定的参考价值.
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