泰勒公式的应用
解 设f(x)?6x4?5x3?4x2?1,将其在x?2点展开，有
148(x?2)236(x?2)2258(x?2)3144(x?2)4f(x)?73????
1!2!3!4!故 ?f(x)7314811843dx?dx?dx?dx?dx??6dx 4432????(x?2)(x?2)(x?2)(x?2)x?2??
7374118???43lnx?2?6x?c.
3(x?2)3(x?2)2x?22.4 判别级数敛散性
关于级数收敛的判别方法有很多，对于正项级数的收敛判别法常见的有比较判别法，柯西判别法，达朗贝尔判别法等.而当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化或统一形式，以便于利用判敛法则.
1(?1)n下面利用泰勒公式把一些级数?un的通项un近似表示成幂函数?和?nnn?1??1(?1)n的线性组合，误差为高阶无穷小，根据级数??和??的收敛情况比较容易
n?1nn?1n??地判别级数?un的敛散性，下面引用级数收敛得一些性质??.
1n?1性质1 正项级数??1，当??1时，级数发散；当??1时，级数收敛. ?n?1n?(?1)n性质2 交错级数??，当??0时，级数发散；当0???1时，级数条件
n?1n收敛；当??1时，级数绝对收敛.
性质3 若级数?un和级数?vn都收敛，则级数?(kun?lvn)(k,l为常数)收敛.
n?1n?1n?1???12
榆林学院本科毕业论文
??性质4 级数?un和级数?vn都是正项级数，且
n?1n?1??unlim?l(un?0,0?l???),则级数?un和级数?vn同敛散. n??vn?1n?1n???性质5 若级数级数?un和级数?vn都绝对收敛，则级数?(un?vn)绝对收
n?1n?1n?1敛.
性质6 若级数?un绝对收敛，级数?vn条件收敛，则级数?(un?vn)条件
n?1n?1n?1???收敛.
性质7 若级数?un绝对收敛，则对?un进行任意重排，得到的级数?vn也
n?1n?1n?1???绝对收敛.
例7 设f(x)在x?0的某一邻域内具有二阶连续导数，且limx?0f(x)?0，证明级x1数?f()绝对收敛.
nn?1?分析 由题设条件“f(x)在x?0的某一邻域内具有二阶连续导数”这一信息可知能够使用泰勒公式，又根据条件limx?0f(x)?0易推得f(0)?f?(0)?0，这使得xf(x)在x?0点的展开式更加简单，便于利用比较判别法判断敛散性.
证明 由 limx?0f(x)?0，并且f(x)在x?0的某一邻域内具有二阶连续导数，可x得
f(0)?0，f?(0)?0
将f(x)在x?0的邻域内展成一阶泰勒公式
f??(?)x2f??(?)x2f(x)?f(0)?f?(0)x?? (0???x)
2!2!根据题设条件，f??(x)在邻域内包含原点的一个小闭区间上连续,故存在M，且
M?0
13
泰勒公式的应用
使得
f??(x)?M
于是
f(x)?令 x?则
1 n1M2f??(?)x2?x 221M1 f()??2
n2n?11因为?2收敛，所以?f()绝对收敛.
nn?1nn?1?例8 讨论级数?(n?1?1n?1?ln)的敛散性.
nn分析 直接由通项去判断该级数是正项级数还是非正项级数比较困难，因而无法适当地选择判敛方法，但注意到ln形式，开二次方后恰与解 因为
lnn?1111111?ln(1?)??2?3?4??? nnn2n3n4nnn?111?ln(1?)，若将其泰勒展开为的幂的nnn1相呼应，使判敛容易进行. n因此 ln故
un?n?11 ?nn1n?1?ln?0
nn故该级数是正项级数. 因为
14
榆林学院本科毕业论文
n?11111ln??2?3?0(3 )nn2n3nn?所以
un?由于级数??1111111?3/2 ?2?3?(?3/2)2?nn4nn2nn2n1n?11111?ln??(?3/2)?3/2
n2nnnn2n1收敛，故由正项级数比较判别法知原级数收敛. 3/22nn?1本题利用泰勒公式后还结合运用了放缩等技巧，这是应用比较判别法时经常会用到的技巧.
2.5 研究函数性态
2.5.1 判断函数的极值
应用带有佩亚诺型余项的泰勒公式，将函数极值的第二充分条件进行推广，借助高阶导数，可得到函数极值的另外一种判别法.
定理2 若f(x)在点x0及邻域U(x0)内具有n阶连续导数，且
f?(x0)?f??(x0)???f(n?1)(x0)?0,f(n)(x0)?0
（i）若n为奇数，则x0不是极值点；
（ii）若n为偶数，则当f(n)(x0)?0时，f(x0)为极大值；
当f(n)(x0)?0时，f(x0)为极小值.
证明 由已知条件及泰勒公式有
f(n)(x0)f(x)?f(x0)?(x?x0)n?0[(x?x0)n]
n!则
15
泰勒公式的应用
f(n)(x0) f(x)?f(x0)? (x?x0)n?0[(x?x0)n] （2-4）
n!因f(n)(x0)?0，则存在点x0的某一邻域U(x0)，使得当x?U(x0)时，式（2-4）等号右端由第一项决定符号.
当n为奇数，在点x0的某一邻域U(x0)内，当x?x0时，(x?x0)n?0； 当n为偶数，且当f(n)(x0)?0时，有f(x)?f(x0)?0.即对一切x?U(x0)，有
f(x)?f(x0)，故f(x0)为极大值.
同理可证f(n)(x0)?0时，f(x0)为极小值.当x?x0时，(x?x0)n?0,即在点x0的左右侧，式（2-4）右端变号，因此x0不是极值点.
例9 已知函数f(x)在x?a邻域内二阶可导，f??(x)?0且当x?a时取得极小值f(a)?0，问g(x)??3(x?a)2f(x)?1在x?a能否取得极值，如有极值，求出极值.
解 f(x)在x?a处的泰勒公式
f??(a)(x?a)2???0((x?a)2) f(x)?f(a)?f?(a)(x?a)?2!由于f(x)在x?a时取得极小值f(a)?0，因此
f?(a)?0，f??(a)?0.
此时
f??(a)(x?a)2???0((x?a)2) f(x)?2!g(x)可以表示为
3f??(a)(x?a)4g(x)?1?????0((x?a)4)
22!因为
g(a)?1
16