第六章 线性微分方程组
在微分方程理论中，线性微分方程组是非常值得重视的一部分内容。首先，自然界或工程技术中的大量实际系统常常可以直接用线性微分方程组描述，从而作为线性微分方程组去研究。其次，从数学的理论研究来说，线性微分方程组的研究，可以籍助于线性代数的知识给出适当和充分的解释。最后，线性微分方程组线性微分方程组的理论也是进一步研究非线性微分方程组的基础。 §1一般理论
考虑标准形式的n阶线性微分方程组
?dy1?dx?a11(x)y1?a12(x)y2???a1n(x)yn?f1(x)??dy2?a(x)y?a(x)y???a(x)y?f(x)?2112222nn2（1.1） ?dx??????????????????????dyn?a(x)y?a(x)y???a(x)y?f(x)n11n22nnnn??dx其中系数函数aij(x)和fi(x)(i,j?1,2?n)在区间a?x?b上都是连续的。 若记A(x)?(aij(x))n?n Y?(y1,y2,?,yn)T f(x)?(f1(x),f2(x),?fn(x))T. 则可以把上面的线性微分方程组（1.1）写成向量的形式
dY?A(x)Y?f(x)（1.1） dx当f(x)?0时，称（1）是非齐次的线性微分方程组。 当f(x)?0时，则方程组的形式为
dY?A(x)Y（1.2） dx通常（1.2）称为相应于（1.1）的齐次线性微分方程组。
和第三章中关于一阶方程的结果类似，我们可以证明如下的关于（1.1）的满足初值条件的解的存在唯一性定理。
存在和唯一性定理：设A(x)和f(x)在区间a?x?b上连续，则初值问题
?dY?A(x)Y?f(x)(1.1)? ?dx??Y(x0)?Y0,x0?(a,b)(1.3)在区间(a,b)内存在唯一的解Y?Y(x).
该定理的证明与第三章定理3.1的证明完全类似，都可用Picard逐次逼近法来证明，只要把定理3.1的绝对值换为向量的范数即可。下面简要地给出证明
?dY?A(x)Y?f(x)(1.1)?证明1)设Y?Y(x)是初值问题?dx 的解，
??Y(x0)?Y0,x0?(a,b)(1.3)则Y?Y(x)是积分方程Y(x)?Y0??xx0定义在(a,b)上的连续解，[A(s)Y(s)?f(s)]ds（1.4）
反之亦然。
2）构造Picard迭代向量函数序列，
?Y(x0)?Y0?x取?（1.5）这样就 得到一个Picard
Y(x)?Y?[A(s)Y(s)?f(s)]ds,(n?1,2,?)0n?1?x0??n迭代序列{Yn(x)}，并从上面的迭代过程不难看出，对于一切n，Picard迭代序列{Yn(x)}在
(a,b)上有定义且连续。
3）向量函数序列{Yn(x)}在(a,b)上是一致收敛的。 考虑向量函数级数Y0??[Y(x)?Ykk?1?k?1(x)], a?x?b（1.6）
由于 级数（1.6）的部分和为
Y0(x)??[Yk(x)?Yk?1(x)]?Yn(x)
k?1n因此，要证明序列{Yn(x)}在(a,b)上一致收敛，只要证明级数（1.6）在(a,b)上一致收敛即可。由于A(x)和f(x)都在(a,b)上连续。所以A(x)和f(x)在(a,b)上都有界。即存在正数L和K，使得
A(x)?L，f(x)?K，a?x?b
取M?LY0?K，下证{Yn(x)}在(a,b)上一致收敛。 首先，由（1.5）可导出下面的估计式：
Y1(x)?Y2(x)??A(s)Y0?f(s)ds?M(x?x0) (x0?x?b)
x0xxY2(x)?Y1(x)??x0A(s)[Y1(s)?Y0(s)]ds??LM(s?x0)ds?x0xML(x?x0)22!
MLm?1(x?x0)m (x0?x?b)由于(x0?x?b)由数学归纳法可得Ym(x)?Ym?1(x)?m!MLk?1(b?x0)k收敛， 0?x?x0?b?x0且级数?k!k?1?由Weiestrass判别法知，级数（1.6）在[x0,b)上一致收敛，因而向量函数序列{Yn(x)}在上
[x0,b)也一致收敛，同理可证{Yn(x)}在(a,x0]上也一致收敛。即有{Yn(x)}在(a,b)上一
致收敛。
令limYn?Y(x)因为，Y(x)是Yn(x)的极限函数，所以Y(x)在上(a,b)连续。
n??4）Y(x)是积分方程（4）在区间(a,b)上的连续解。事实上，因为Yn(x)在(a,b)上一致收敛于Y(x)以及A(x)在(a,b)上的连续性，可知{A(s)Yn?1(s)}在(a,b)上一致收敛于
A(s)Y(s)。对积分方程（1.5）两边取极限得到
limYn(x)?Y0?lim?[A(s)Yn?1(s)?f(s)]ds?Y0??limA(s)Yn?1(s)?f(s)]ds即有
n??n??x0x0n??xxY(x)?Y0??[A(s)Y(s)?f(s)]ds
x0x上式表明，Y(x)是积分方程（1.4）定义在(a,b)上的连续解。即Y(x)是初值问题
?dY?A(x)Y?f(x)(1.1)?的解。 ?dx??Y(x0)?Y0,x0?(a,b)(1.3)5）解的唯一性
?(x)是积分方程（4）的定义在(a,b)上的另一连续解。则有设Y?Yx?(x) ??(s)?f(s)]ds令g(x)?Y(x)?YY?Y0??[A(s)Yx0则g(x)是定义在(a,b)上的非负连续函数，且有
g(x)??xx0?(s))ds?xA(s)Y(s)?Y?(s)ds?LA(s)(Y(s)?Y?x0?xx0g(s)ds,
a?x?b（1.7）取g(x)的一个上界M，则由（1.7）可见g(x)?LMx?x0
(Lx?x0)2然后，把它代入（1.7）的右端，又可推出g(x)?M如此递推，可用归纳法得
2!g(x)?M(Lx?x0)nn!让n??，则上述不等式的右端趋于零。因此可推出
?(x),x?(a,b). Y(x)?Y于是方程组（1）满足初始条件（1.3）的解是存在且唯一的。
注：若将此定理的条件和结论与定理3.1作比较，不难发现这里条件虽然仅要求A(x),f(x)连续，但是由A(x)的连续性可知，在x的任意有限闭区间上函数A(x)Y对Y满足李氏条件。值得注意的是，此定理的结论与定理3.1的结论有不同之处，定理3.1的解的存在是局部的，而此定理则指出解在整个a?x?b上存在，即解的存在区间表示局部的，而是大范围的。 在讨论非齐次线性微分方程组（1.1）之前，先讨论齐次线性微分方程组（1.2）。 1. 1齐次线性微分方程组
这里我们主要研究齐次线性微分方程组（1.2）的所有解的集合的代数结构问题。 用记号S表示齐次线性微分方程组（1.2）的一切解组成的集合。即
的解，称为平凡解，即0?S。S?{Y(x)Y?(x)?A(x)Y(x),a?x?b}易知Y(x)?0是（2）所以集合S不是空集。
设Y1(x)和Y2(x)是（1.2）的解，c1和c2是两个任意常数。直接代入（1.2）验证即知，
c1Y1(x)?c2Y2(x)也是（1.2）的解，这技术线性齐次方程组的叠加原理。
引理1（叠加原理）设Y1(x)和Y2(x)都是齐次线性方程组（1.2）的解，则它们的线性组合
Y?c1Y1(x)?c2Y2(x)（8）也是方程组（1.2）的解，其中c1和c2为实的任意常数。
引理1说明，按通常向量的加法，方程组的解集S构成一个线性空间。问题是：这个空间
的维数是多少呢？为此我们需要引进向量函数的线性相关和线性无关的概念。
设在区间a?x?b上给定m个n维的向量函数Y1(x),?,Ym(x)，若存在m个不全为零的常数c1,?cm，使得对a?x?b有恒等式c1Y1(x)???cmYm(x)?0成立，则称向量函数在区间a?x?b上为线性相关的。否则，称Y1(x),?,Ym(x)为线性无关的。 Y1(x),?,Ym(x)例1证明n个向量函数
?x2??xn??x???????000Y1???,Y2???,?,Yn???
??????????????0???0??0??????在任何区间上都是线性无关的。
证 若不然，Y1,Y2,?,Yn线性相关，则由线性相关的定义知，必存在不全为零的n个常数
?x2??xn??x???????000c1,c2,?cn，使得c1???c2?????cn???0从而可得c1x?c2x2???cnxn?0显
??????????????0???0??0??????然它的零点不会多于n个，因而不可能在任何区间上恒为零，故Y1,Y2,?,Yn在任何区间上线性无关。
例2 向量组Y1???cosx??sinx?,Y??2??在任何区间上线性无关。
??sinx??cosx?证 若c1Y1?c2Y2?0，即
cosxsinx?c1cosx?c2sinx?0由于系数行列式?1?0所以c1?c2?0，故Y1,Y2??sinxcosx?csinx?ccosx?0?12在任何区间上线性无关。
例3 证明向量函数组Y1?(cos2x,1,x)T,Y2?(?sin2x?1,1,x)T 在任何区间I上都是线性相关的。 证 事实上，取c1?1,c2??1则
?cos2x???sin2x??0???????c1?1?c1?2????0?,x?I故Y1,Y2在I上线性相关。 ?x??x??0???????问题是：如何判别向量函数的线性无关性？
下面介绍方程组（2）的解函数向量组Yi(x),(i?1,2,?,n)在定义区间I上线性相关与线性无关的判别准则。为此我们引进Wronsky行列式概念。 设有n个定义在区间a?x?b上的向量函数
Y1?(y11(x),y21(x),?,yn1(x))T,?,Yn?(y1n(x),y2n(x),?,ynn(x))T（1.9）由这n个向量
函数构成的行列式
y11(x),y12(x),?,y1n(x)W[Y1(x),?Yn(x)]?y21(x),y22(x),?,y2n(x)?yn1(x),yn2(x),?,ynn(x)（Wronsky）行列式。
对（1.10）我们介绍在微分方程理论研究中很有用的一个刘维尔公式。
引理2 设（1.2）的一个解组为Y1(x),?,Yn(x)则它的朗斯基行列式满足下面的刘维尔公式：
（1.10）称为向量函数组（9）的朗斯基
W(x)?W(x0)en?x0trA(s)ds(x)
x其中x0?(a,b)，而trA(x)表示矩阵A(x)的迹。,(a?x?b)（1.11）
即trA(x)??aj?1jj证明 以n?2的情况为例证明之，对于一般的n，其证明是类似的，n?2时，（1.2）成为