?1x??ex所以级数只两项。因此，基解矩阵就是exp(xA)?e????01???0xxex? x?e?由上例可以看出，幂零矩阵的指数函数展开式实际上是一个有限和。这是我们解决问题的关
键所在。
由线性代数可知，任一矩阵A在相似变换下都可以化为约当标准型J，而J的每一约当块
exp(xJ)可以表成初等函数有限和的形式。又可分解为矩阵?E和一个幂零矩阵之和。因此，
2.3利用约当标准型求基解矩阵
由线性代数中的约当标准型定理知道，对于任给的n阶矩阵A。必存在一个非奇异的n阶矩
阵P，使得A?PJP?1?J1?其中J?????J2???为约当标准型，而???Jm???i?Ji?????1?i????是对应于矩阵A的初等因子(???)ni的n阶约当块。
ii?1???i??i,(i?1,2,?,m)是A的特殊值，且
n1?n2???nm?n。则Ji有如下分解式
??i?Ji??????i??01????0???????E?Z
i????1?????i??0?其中Z是幂零矩阵（它的ni次幂为零矩阵）。由于矩阵?iE与任何矩阵都可以交换，因此用例2类似的方法容易得出
?0??xJi?ixe?eE[E?x??????00??00xni?1???0(ni?1)!????1??001????0100??x2??0????0?1????2!???1??0???0?0????
01??0????]??0?0??由此可得它的初等函数有限和的形式，即
exJi?x2xni?1???1x?2!(n?1)!i???xni?2?1x????e?ixx?(ni?2)!?（2.12）(i?1,2,?,m)。
????????x????1????? ???exJm??xA再用例1的方法可得
?exJ1?exJ??????exJ2又由命题2中的结论3），有e?ePxJP?PexJP?1（2.13）
xA?1实际上，公式（2.13）已经给出了计算方程组（2.2）的基解矩阵e的一个方法。另外，由§1中的推论3及P的可逆性，可知eP也是（2.2）的一个基解矩阵。再由（2.13）得到
xAexAP?PexJ（2.14）即
?exJ1?exAP?P?????其中exJiexJ2???（2.15） ???exJm??，(i?1,2,?,m)由（2.12）给出。
由上述讨论可知，从（2.14）或（2.15）来求（2.2）的基解矩阵，与从（2.13）来求（2.2）
的基解矩阵相比，虽然可以避免求逆矩阵且减少一次矩阵的乘法运算。但是求约当标准型J和过渡矩阵P的计算量一般仍然很大。因此实际求解时，是在上述分析的基础上，先搞清楚（2.2）的解的形状，然后用待定系数法来求解。
2.4待定指数函数法
由于矩阵A的约当标准型倚赖于它的特征根的重数，下面我们分两种不同的情形讨论 一）A只有单的特征根
设?1,?2,?,?n是A的n个不同特征根，则A的约当标准型J就是一个对角矩阵。从而由（2.14）即可得相应的基解矩阵
?e?1x??(x)?exAP?P?????e?2x??? ???nx?e??显然?(0)?P，故有exA??(x)??1(0)（2.16）
这样，问题的关键是如何确定矩阵P，令?i表示P的第i列的向量， 则有?(x)?(e1?x?1,e?x?2,?,e?x?n)由此可以看出方程组（2.2）有如下形式的解：e?x?i其
2ni中?i是一个待定的常数列向量。
考虑（2.2）的形式为Y?e?x?,??0（2.17）的解。其中常数?和向量?是待定的，为此，将（2.17）代入（2.2），得到?e?x??Ae?x?因为e?x?0上式变为(A??E)??0（2.18）
这就表示e?x?是（2.2）的解的充要条件就是常数?和向量?满足方程（2.18），方程（2.18）可以看作向量?的n个分量的一个齐次线性代数方程组。根据线性代数知识，这个方程组具有非零解的充要条件就是?满足方程det(A??E)?0（2.19）对应（2.19）的每一个特征根?j；将它代入（2.18），求得的非零向量?i，称为矩阵A的对应?j的特征向量。由以上讨论，就得如下引理
引理6 微分方程组（2.2）有非零解Y?e应的特征向量。
进一步，我们可以证明如下定理
定理5 设n阶矩阵A有n个互不相同的特征根?1,?2,?,?n，则矩阵函数
?x?当且仅当?是矩阵A的特征根，且?是与?相
?(x)?(e?1x?1,e?2x?2,?,e?nx?n)是（2.2）的一个基解矩阵。其中?i是A的与?i相应的特
征向量。
证明 由引理6知每一个向量函数e?jx?j,(j?1,2,?,n)都是（2.2）的解，因此
?(x)?(e?1x?1,e?2x?2,?,e?nx?n)是（2.2）的一个解矩阵，又由线性代数的结果，对应于不
同的特征根的特征向量是线性无关的，所以det?(0)?det(?1,?2,?,?n)?0因此由定理1可知。?(x)的（2.2）的一个基解矩阵。
利用引理6，还可证明以下强于定理5的结果的一个定理。
定理5 设?1,?2,?,?n是矩阵A的n个线性无关的特征向量。则矩阵函数
*?(x)?(e?1x?1,e?2x?2,?,e?nx?n)是方程组（2.2）的一个基解矩阵，其中?1,?2,?,?n是矩
阵A的与?1,?2,?,?n相应的特征根，它们不必互不相同。
证明 由引理6知，?(x)是（2.2）的一个解矩阵，又因为向量?1,?2,?,?n是线性无关的，所以det?(0)?det(?1,?2,?,?n)?0因此由定理1知，?(x)是（2.2）的一个基解矩阵。
?5?28?18?dY?????153?Y的通解 例3 求微分方程组
dx???3?16?10?解 特征方程为det(A??E)??3(1??2?)因0此矩阵A有特征根?1?0，?2?1和
?3??1，都是单根。
对于?1?0，求非零向量?1?(?11,?21,?31)T使得
?5?28?18???11??????153????21??0 ?3?16?10???????31?解上述关于未知数?11,?21,?31的方程组，即得
?5?11?28?21?18?31?0????11?5?21?3?31?0 ?3??16??10??02131?11第2个方程乘以4加上第3个方程乘以3即得第一个方程，所以为了求解上述方程组，只要
解第2第3两式即可。解得
?1153?16?10??213?1?103??31?153?16即
?11?2??21?1??311
??11???2?????故可取?1???21????1?
????1??31???类似可求得
?2??3?????2???1,????3?0?
?2??1?????因此所求通解为
??2??2??3???????Y?c1??1??c2??1?ex?c3?0?e?x其中c1，c2，c3为任意常数。
?1??2??1???????附注1在本教材中，我们讨论实数域上的微分方程，因此这里A为实矩阵。然而这时A的特征根不一定是实数，而可能有（共轭的）复特征根，从而定理5中的矩阵?(x)可能是复的。但是我们知道，如果A是实的，那么e也是实的。因此，当A是实的时，公式（2.16）给出一个构造实的基解矩阵的方法。 例4 求解微分方程组
xAdY?11????Y ?11dx??解 特征方程为
1??1??2?2??2?0
?11??特征根为?1?1?i,?2?1?i
对于?1?1?i求非零向量?1?(?11,?21)T使得
??i1???11???????0 ??1?i??21???i?11??21?0?1?即?故可取?1??? ???11?i?21?0?i??i?类似可求得相应于?2?1?i的特征向量为?2???
?1?由定理5知，矩阵
?e(1?i)x?(x)??(1?i)x?ieie(1?i)x?x?eix?e?ix(1?i)x?e??ieie?ix? ?ix?e??1就是一个基解矩阵，这是一个复值矩阵。根据（2.16）及附注，可得实的基解矩阵
ixxA?1x?ee??(x)?(0)?e?ix?ie?cosxsinx?ex????sinxcosx?ie?ix??1i?1x?eix??e?ix?ix??2?iee??i1?ie?ix??1?i????ix??e???i1?
由此可得微分方程组的通解Y?c1e?x?cosx?x?sinx??ce?2??其中c1和c2是任意常数。
??sinx??cosx?不难看到利用公式（2.16），从复矩阵?(x)构造实的基解矩阵的方法中，需要计算逆矩阵