?dy1?a11y1?a12y2??dx ??dy2?ay?ay211222??dx?y11(x)??y12(x)?设Y1???,Y2???是该方程组的两个解，由这两个解组成的朗斯基行列式是
y(x)y(x)?21??22?W(x)?y11y21y12 y22利用行列式的求导公式，有
?dWy11?y21dxy11??y22y21?y12y12a11y11?a12y21a11y12?a12y22y11y12???y22y21y22a21y11?a22y21a21y12?a22y22以?a12乘上式右端第一个行列式的第2行的各元素，然后分别加到第一行上去，以?a21乘上式右端第二个行列式的第一行的各元素，然后分别加到第二行上去，得
y11dW?a11y21dxy12y22?a22y11y21y12y22x2dW?(?ajj(x))W(x)由?[a11(x)?a22(x)]W(x)即dxj?12此解出W，即得W(x)?W(x0)eajj(s)ds?x0?j?1
附注1 由引理2可见，由于x0?(a,b)是任取的，因此（1.2）的n个解Y1(x),?,Yn(x)的朗斯基行列式W(x)或者在整个区间a?x?b上不等于零，或者在整个区间a?x?b上恒等于零。下面的定理表明，这是（1.2）的n个解在a?x?b上是线性无关还是线性相关的
重要特征。
定理1 线性微分方程组（1.2）的n个解组Y1(x),是线性无关的充要条件为?,Yn(x)W(x)?0（1.12）
证明 必要性 我们用反证法。
)0。 考虑下面的齐次线性代数方程组设有某一个x0?(a,b)，使得W(x?它的系数行列式就是W(x0)，因为W(x)?0，c1Y1(x0)?c2Y2(x0)???cnYn(x0)?0（1.13）
所以（1.13）有非零解c1,c2,?,cn。以这个非零解c1,c2,?,cn构成向量函数Y(x)：
Y(x)?c1Y1(x)?c2Y2(x)???cnYn(x)（1.14）易知这个解Y(x)满足初始条件Y(x0)?0（1.15）。但是（1.2）的平凡解Y?0，显然满足初始条件（1.15）。于是由解的唯一性知道
Y(x)?c1Y1(x)?c2Y2(x)???cnYn(x)?0，(a?x?b)即Y1(x),?,Yn(x)在(a,b)上线性
相关。这与Y1(x),?,Yn(x)线性无关矛盾，因此，W(x)?0。
充分性 设W(x)对于一切x?(a,b)都不等于零，于是对任何x?(a,b)，W(x)中的列向量
Y1(x),?,Yn(x)是线性无关的。从而向量函数Y1(x),?,Yn(x)在(a,b)上也是线性无关的。
推论1 线性微分方程（1.2）的n个解组Y1(x),?,Yn(x)是线性相关的充要条件为W(x)?0，
(a?x?b)。
现在，我们来证本节的主要结论。
定理2 齐次线性微分方程组（1.2）在区间a?x?b上有n个线性无关解
?1(x),?2(x),?,?n(x)（1.16）而且它的通解为Y?c1?1(x)?c2?2(x)???cn?n(x)（1.17）
其中c1,c2,?cn是任意常数。
证明 首先证明方程组（1.2）在区间a?x?b上有n个线性无关的解。 任取x0?(a,b)，根据解的存在唯一性定理，（1.2）分别满足初值条件
?1??0??0???????01?????0??1(x0)??0?,?2(x0)??0?,?,?n(x0)??0?的解?1(x),?2(x),?,?n(x)一定存在。又因
????????????????0??0??1???????为这n个解?1(x),?2(x),?,?n(x)的朗斯基行列式W(x0)?1?0，故根据定理1，
?1(x),?2(x),?,?n(x)是线性无关的。
其次证明（1.17）表示方程组（1.2）的通解。这里需要证明如下两点：
n1
0?c?(x)是（1.2）的解，由引理1立即可推得。
iii?120 方程组（1.2）的任何一解Y(x)必可表示为上述n个线性无关解?i(x)，(i?1,2,?,n)的线性组合。即Y?c1?1(x)?c2?2(x)???cn?n(x)
任取x0?(a,b)，令Y?c1?1(x0)?c2?2(x0)???cn?n(x0)（1.18）
把（1.18）看作是以c1,c2,?cn为未知量的线性代数方程组。这方程组的系数行列式为
W(x0)。因为?1(x),?2(x),?,?n(x)是线性无关的。根据定理1知W(x0)?0，由线性代
数方程组的理论，方程组 （1.18）有唯一解c1,c2,?,cn以这组确定了的ci,(i?1,2,?,n)构成向量函数c1?1(x)?c2?2(x)???cn?n(x)根据引理1，知它是（1.2）的解。注意到（1.18）可知（1.2）的两个解Y(x)与c1?1(x)?c2?2(x)???cn?n(x)具有相同的初值条件，从而由解的唯一性，得Y(x)?c1?1(x)?c2?2(x)???cn?n(x)故定理得证。
定理2是本节的主要定理，它告诉我们，只要找到齐次线性方程组的n个线性无关的解，就可以得到它的通解。
通常称齐次线性方程组（1.2）的n个线性无关的解Yi(x),(i?1,2,?,n)为一个基本解组，因此，求（1.2）的通解，只须求它的一个基本解组。
1??2cosxsin2x?1??y1?d?y1??2例1验证微分方程???（1.19）的通解为????dx?y2??1?y2?sin2x??sin2x?1??2??excosx??y1???sinx???c2????c1?x?（1.20）
ycosx???2??esinx??excosx???sinx?解直接代入可以验证?x?,??（1.21）是齐次线性方程组（1.19）在区间
?esinx??cosx????x???上的两个解；且它们的朗斯基行列式W(x)在x?0的值为 10W(0)??1?0
01所以（1.21）是一个基本解组，从而（1.20）是通解。
推论2 线性齐次方程组（1.2）的线性无关解的个数不能多于n个。
证明 设Y1(x),?,Yn(x),Yn?1(x)是方程组（1.2）的任意n?1个解，现任取其中n个解，比如取前n个解Y1(x),?,Yn(x)，于是，或者这n个解线性相关，因而这n?1个解也线性相关；或者这n个解线性无关，从而构成（1.2）的基本解组。由定理2可知，存在c1,c2,?,cn，使得Yn?1(x)?c1Y1(x)???cnYn(x)这说明这n?1个解是线性相关的。 由定理2及推论2可知，线性空间?的维数为n，于是可得结论： 引理3 ?是一个n维线性空间。
最后，我们将本节的定理写成矩阵的形式，这种不同的表示方法今后会有用的。如果一个n?n矩阵的每一列都是（1.2）的解矩阵。
设Yi(x),(i?1,2,?,n)是（1.2）的一个基本解组，矩阵?(x)?(Y1(x),?,Yn(x))（1.22）
称为（1.2）的一个基解矩阵。
一旦求得（1.2）的一个基解矩阵?(x)，则由定理2可知，它的通解为Y??(x)C（1.23）其中 是n维的任意常数列向量。
从定理1，定理2及（1.23）式，可得如下推论
推论3 1）设?(x)是方程组（1.2）的一个基解矩阵，则对于任一个非奇异的n阶常数矩阵C，矩阵?(x)??(x)C（1.24）也是（1.2）的一个基解矩阵。2） ?(x)和?(x)都是方程组（1.2）的基解矩阵，则必存在一个非奇异的n阶常数矩阵C使得（1.24）成立。 证1）首先，根据解矩阵的定义知，方程组（1.2）任一解矩阵Y(x)必满足关系
Y?(x)?A(x)Y(x),(a?x?b)反之亦然。现令?(x)??(x)C,(a?x?b)
微分上式，并注意到?(x)为方程组（1.2）的基解矩阵，C为常数矩阵，得
??(x)???(x)C?A(x)?(x)C?A(x)?(x)即?(x)是方程组（1.2）的解矩阵，又由C的
非奇异性，有det?(x)?det?(x)?detC?0,(a?x?b)由定理1知?(x)即?(x)C也是（1.2）的基解矩阵。
2）因为?(x)为基解矩阵，故其逆矩阵??1(x)一定存在，现令??1(x)?(x)?Y(x)或
?(x)??(x)Y(x)易知Y(x)是n?n可微矩阵，且detY(x)?0又?(x)为基解矩阵。于是，
A(x)?(x)???(x)???(x)Y(x)??(x)Y?(x)?A(x)?(x)Y(x)??(x)Y?(x)?
A(x)?(x)??(x)Y?(x)由此推知?(x)Y?(x)?0进而推知Y?(x)?0即Y(x)为常数矩阵，记为C，又由detY(x)?0故C为非奇异的n 阶常数矩阵。因此我们有?(x)??(x)C。
1.2非齐次线性方程组
现在，我们可以利用上面1.1的结果来推导非齐次线性方程组
dY?A(x)Y?f(x)（1.1）的通解结构。 dx首先讨论非齐次线性方程组（1.1）和与它对应的齐次线性方程组
dY?A(x)Y（1.2）之间的关系。 dx引理4 如果?(x)是与（1.1）对应的齐次线性方程组（1.2）的一个基本解矩阵，?(x)是
*（1.1）的一个特解，则（1.1）的任一解Y??(x)可以表示为?(x)??(x)C???(x)（1.25）
*其中C是一个与?(x) 有关的常数列向量。
证明 首先证明公式（1.25）表示非齐次线性方程组（1.1）的解。事实上，由（1.25）得
??(x)???(x)C??*?(x)?A(x)?(x)C?A(x)?*(x)?f(x)?A(x)[?(x)C??(x)]?f(x)?A(x)?(x)?f(x)即由（1.25）式表达的?(x)是方程组（1.1）的解。
*
其次，由Y??(x)是方程组（1.1）的任一解，则有??(x)?A(x)?(x)?f(x) 另外，?*(x)为（1.1）的一个特解。从而有
?*?(x)?A(x)?*(x)?f(x)两式相减后，得(?(x)??*(x))??A(x)(?(x)??*(x))
这就是说?(x)??*(x)是齐次线性方程组（1.2）的一个解，因此，由（1.23）可知，存在常数列向量C，使得?(x)??*(x)??(x)C
从而?(x)??*(x)??(x)C这就证明了公式（1.25）表达了方程组（1.1）的一切解。 由引理4可知，若已知齐次线性微分方程组（1.2）的一个基解矩阵?(x)，那么非齐次线性方程组（1.1）的求解问题就归纳为求它的一个特解?*(x)。至于如何求这个特解?*(x)，下面介绍拉格朗日的常数变易法。这种方法的基本思想如下。
因为Y??(x)C是齐次方程组（1.2）的解，所以它不可能是非齐次方程组（1.1）的解。现在我们希望把C换为x的待定的向量函数C(x)，使得?(x)??(x)C(x)（1.26）是线性非齐次方程组（1.1）的一个特解。为此，把（1.26）代入方程组（1.1），得到
*??(x)C(x)??(x)C?(x)?A(x)?(x)C(x)?f(x)（1.27）由于?(x)是（1.2）的基解矩阵，
故??(x)?A(x)?(x)把它代入（1.27），消去相应的项，得到?(x)C?(x)?f(x)（1.28） 又因为?(x)是（1.2）的基解矩阵，所以它的朗斯基行列式det?(x)?0，(a?x?b)从而
??1(x)存在。用??1(x)左乘（1.28）的两侧，得到C?(x)???1(x)f(x)
由于我们只需要它的一个特解，故取初值条件为C(x0)?0的特解
C(x)????1(s)f(s)ds把上式代回（1.26）式，就得到非齐次线性微分方程组的一个特解
x0x?*(x)??(x)???1(s)f(s)ds（1.29）
x0x