这样一来，我们就得到下面的引理5
引理5 设?(x)是（1.2）的一个基解矩阵，则（1.29）式给出非齐次线性方程组（1.1）的一个特解。
综合上面的结果，我们得到
定理3 设?(x)是（1.2）的一个基解矩阵，则非齐次线性方程组（1.1）在区间a?x?b上的通解可以表示为Y??(x)(C??xx0??1(s)f(s)ds)（1.30）其中C是n维的任意常数列向
量，而且（1.1）满足初值条件Y(x0)?Y0的解为Y??(x)??1(x0)Y0??(x)（1.31）其中x0?(a,b)。
?xx0??1(s)f(s)ds附注2 公式（1.30）和（1.31）称为非齐次线性方程组（1.1）的常数变易公式。 例2求解初值问题
?1??2cosxsin2x?1?d?y1????y1??cosx?2???????????yy2??sinx?1dx2??2??sin2x?1??sinx?? ??2????y1(0)??0???y(0)???1???2???解 由例1知，对应的齐次线性方程组有一个基解矩阵
?excosx?sinx??(x)??x?
?esinxcosx?可以求出
?e?xcosxe?xsinx??1?10??(x)??,?(0)????
cosx??01???sinx?1由公式（1.31），即得到所求初值问题的解为
?y1??10??0?x?e?scosse?ssins??coss???????(x)[??????0??ds]y011sins?sinscoss??????2?????excosx?sinx??1?e?x??0?x?e?s???(x)[??????ds]??x???001esinxcosx1?????????(ex?1)cosx?sinx???x?(e?1)sinx?cosx??由上面可见，只要知道齐次线性方程组（1.2）的一个基本解矩阵，就可以通过积分求出非齐次线性方程组（1.1）的通解或特解。但是使用公式（1.30）或（1.31）时，需要计算逆矩阵??1
，即方程组 ?x?，而往往结果是很繁的。因此在具体求解时，可由（1.28）
?(x)y11(x)?c2?(x)y12(x)???cn?(x)y1n(x)?f1(x)?c1?c?(x)y(x)?c?(x)y(x)???c?(x)y(x)?f(x)?121222n2n2（1.32） ?????(x)yn1(x)?c2?(x)yn2(x)???cn?(x)ynn(x)?fn(x)?c1中解出ci?(x)??i(x),(i?1,2,?,n)积分后得到ci(x)??i(x)dx?ci,(i?1,2,?,n)
?把它们代入（1.26），就得（1.1）的通解。 非齐次线性微分方程组也有叠加原理 设方程组
dY?A(x)Y?fi(x),(i?1,2)分别有解Y1(x),Y2(x)，则Y1(x),Y2(x)是方程组 dxdY?A(x)Y?c1f1(x)?c2f2(x)的解。 dx§2 常系数线性微分方程组
在上一节定理3中给出的常数变易公式，是二章一阶线性方程的求解公式的推广，但是两者有一个很大的区别。一阶线性方程的求解公式提供了实际求解的计算公式，但这里给出的常数变易公式（1.30）和（1.31）却依赖于齐次方程组（2）的一个基解矩阵?(x)，而在一般情况下，我们很难求出?(x)的有限形式。因此，常数变易公式（1.30）和（1.31）解提供的仅是一种结构公式，并没有完全解决非齐次线性微分方程组（1.1）的求解问题。在本节的讨论中，我们将看到，对于常系数线性齐次方程组，求它的基本解矩阵可以归纳为代数运算。因此，系数为常数的线性方程组的求解问题将获得彻底解决。 所谓常系数线性微分方程组，指的是线性微分方程组
dY?AY?f(x)（2.1）其中的系数dx矩阵A为n阶常数矩阵，而f(x)是在a?x?b上连续的向量函数。
由前面的讨论可知，求解线性微分方程组（2.1）的关键是求出相应的齐次线性微分方程组
dY?AY（2.2）的一个基本解矩阵。 dx当n?1时，矩阵A就是一个实数a，此时方程（2.2）成为 dy?ay（2.3） dx它的通解是y?ec其中c为任意常数。下面我们将要指出，齐次线性微分方程组（2.2）也有类似的结果。在此之前，我们需要定义矩阵指数函数e并讨论其性质。 2.1矩阵指数函数的定义和性质 命题1 矩阵A的幂级数
?A2AkAk0（2.4）是绝对收敛的。这里我们规定A?E E?A???????E??2!k!k?1k!AxaxAAn?证明 对一切正整数n，有从而有 n!n!E??k?1nn?AAAkA?E???1???e因此矩阵级数（2.4）是绝对收敛的。 k!k?1k!k?1k!kkn利用命题1,现以记号e（或expA）表示上述矩阵级数的和，并称为矩阵A的指数函数，
AAk即e??.
k?0k!A?命题2 矩阵指出函数有下面的性质：
1） 若矩阵A，B是可交换的，即AB?BA。则exp(A?B)?expA?expB（2.5） 2） 对任何矩阵A，(expA)?1存在。且(expA)?1?exp(?A)（2.6） 3） 若P是一个非奇异的n阶矩阵。则exp(PAP?1)?P(expA)P?1（2.7）
?AkBl证明1）由于矩阵级数expA??和expB??是绝对收敛的，因而关于绝对收敛
k!l!k?0l?0?值级数运算的一些定理。如任意改变项的顺序及级数的乘法定理等结果，都可用于矩阵级数，
由绝对收敛级数的乘法定理得
A2B21expA?expB?(E?A???)(E?B???)?E?(A?B)?(A2?2AB?B2)??2!2!2!（2.8）
另一方面，由二项式定理及AB?BA，得
exp(A?B)?E?(A?B)?11(A?B)2???E?(A?B)?(A2?2AB?B2)??2!2!（2.9）比较两式（2.8），（2.9），即推得（2.5）
2）由于A与?A是可交换的，故由性质1）有expA?exp(?A)?exp(A?A)?exp0?E。故(expA)3）由于
??(PAP?1)kPAkP?1Ak?1exp(PAP)?E???E???E?P(?)P?P(expA)P?1。
k!k!k?1k?1k?1k!?1??1?exp(?A)。
有了矩阵函数的基本概念及其性质，我们就可以利用它来研究方程组（2.2）的基本解矩阵，
进而给出其通解。
2.2常系数齐次线性方程组的基本解矩阵
显然，常系数齐次 线性方程组是变系数齐次线性方程组的特殊情形。因此关于变系数齐次
线性方程组的结果都可以用于常系数齐次线性方程组。然而由于它的特殊性，我们将看到，对于一般的变系数齐次线性方程组，其基解矩阵一般往往不易求得，但对于常系数齐次线性方程组，我们总可以求出它的基解矩阵。
定理4 矩阵指数函数?(x)?exA是（2.2）的一个标准基解矩阵（即基解矩阵?(x)满足
?(0)?E）。
xkAk证明 由于级数exp(xA)?E??在x轴上处处收敛。它的每一项都是x的连续可微
k!k?1?xk?1k函数，由它的每一项导数组成的级数?A在x轴上的任何闭区间上都是一致收敛
K?1(k?1)!?的。于是exp(xA)在x轴上处处连续可微，其导数可以由逐项求导得到。于是我们有
dx2A3xk?12?(x)?(exp(xA))??A?xA????Ak??dx2!(k?1)!?A(E?xA?x2xA???Ak?1??)?Aexp(xA)?A?(x)2!(k?1)!2k?1
这表明?(x)是（2.2）的基解矩阵。
另一方面，由于?(0)?E，所以det?(0)?detE?1?0，因此，?(x)?exp(xA)是（2.2）的基解矩阵，且是标准的。
由定理4可知，方程组（2.2）的通解为Y(x)?exp(xA)C其中C是一个常数向量。 若?(x)是方程组（2.2）满足初始条件?(x0)?Y0的解。从而有Y0?exp(x0A)C即有
C?exp(?x0A)Y0故得方程组（2.2）满足初始条件Y(x0)?Y0的解为
?(x)?exp(xA)exp(?x0A)Y0?exp[(x?x0)A]Y0
类似把定理4应用到定理3，即得
推论3 常系数非齐次微分方程组（2.1）在区间(a,b)上的通解为
Y?exp(xA)C??exp[(x?s)A]f(s)ds（2.10）
x0x其中C为任意的常数列向量；而（2.1）满足初始条件Y(x0)?Y0的解为
Y?exp[(x?x0)]AY0??exp[(x?s)A]f(s)ds（2.11）其中x0?(a,b)
x0x定理4告诉我们，方程组（2.2）的基解矩阵就是矩阵exp(xA)。问题似乎已解决了。但是
exp(xA)是一个矩阵级数。这个矩阵的每一个元素是什么呢？即这种用矩阵无穷级数定义的
指数函数exp(xA)，是否可以用初等函数的有限形式表达出来，若可能的话，又如何计算它呢？
首先我们指出，在某些特殊情况下，容易得到方程组（2.2）的基解矩阵exp(xA)的具体形式。
?a1?例1设A?????a2???为一个对角矩阵，试求出（2.2）的基解矩阵。 ???an?解由矩阵指数函数的定义，可得
?a1?exp(xA)?E?x?????ea1x???????ea2xa2?a12??2?x????2!?????an??a22??a1k?k?x??????k!?????an2???a2k????????ank????????eanx????akyk因此它可以分别上述结果是很明显的，因为在上述特殊情况下，方程组可以写成yk进行积分而得到。 例2 试求
dY?11????Y的基解矩阵。 dx?01??1?01???1??1??00??0???1??01??10?其中?E?ZE????为单位矩阵，而
0?01??解 因为A???01?。由于单位矩阵与任一矩阵是可以交Z???为幂零矩阵（即它的某一方幂为零矩阵）
?00?换的，故得到
?exexp(xA)?exp(xE)?exp(xZ)???0?01??00?但是??????0
0000????20??01?x2?01?[E?x???????] x?e??00?2!?00?2