??1(0)，一般当n较大时，计算量是比较大的，因而在应用时并不是太方便。下面再介绍
一个从复值解求实值解的方法。
设（2.2）有一个复值解Y1?u(x)?iv(x)。因为A是实值的，可知Y1的共轭
1Y2?u(x)?iv(x)也是（2.2）的一个复值解。从而它们的实部u(x)?(Y1?Y2)和虚部
21v(x)?(Y1?Y2)都是（2.2）的实值解，这样，就可以从一对共轭的复值解推导出另外一
2i对实值解，以代替原来的那一对复值解，最后得到n个线性无关的实值解。
从上例的?(x)可以看出，它的第一列
?eix?x?cosx?x?sinx?Y1?e?ix??e???ie??是一个复值解。
?sinxcosx?????ie?x因此，它的实部和虚部u(x)?ex??cosx?x?sinx?,v(x)?e???是二个线性无关的实解，因此
??sinx??cosx??cosx?x?sinx?同样可得通解Y?c1e???c2e??
?sinxcosx????x二）A有重的特征根
若矩阵A的特征根有重根时，那么就得不到n个不同的特征根。在这种情况下，一般说来也就得不到n个线性无关的特征向量以构成（2.2）的n个线性无关的解。下面我们就来讨论这种情形。
设A是一个n?n矩阵，?1,?,?s是A的不同特征根，它们的重数分别为n1,?,ns，这里
n1?n2???ns?n。在A的约当标准型J中，与?i相对应的约当块可能不止一个，但这
些约当块的阶数之和为ni，?i?1,2,?,s?。由（2.15）式可以推出，在（2.2）的基解矩阵
exAP的所有列向量中，与?i相关的ni列都具有下列形式
??xx2xni?1Y?e??0??1??2????ni?1?（2.20）
1!2!(ni?1)!???ix其中?j，?j?0,1,?,ni?1?是n维常数列向量，下面的引理7就给出了确定诸?j的方法。 引理7 设?i是矩阵A的ni重特征根，则（2.2）有形如（2.20）的非零解的充要条件是：?0是齐次线性代数方程组
(A??iE)ni??0（2.21）的一个非零解。而（2.20）式中的?1,?,?ni?1是由下面的关系式
逐项确定的：
??1?(A??iE)?0???(A??E)??2i1（2.22） ?????n?1?(A??iE)?n?2i?i证明 设齐次微分方程组（2.2）有形如（2.20）的非零解，于是把（2.20）代入（2.2）得到
xxni?1xxni?2?ix?ie(?0??1????ni?1)?e(?1??2????ni?1)1!(ni?1)!1!(ni?2)!?ixxx?Ae?i(?0??1????ni?1)1!(ni?1)!消去e
?ixni?1
，得
xxni?1xxni?2(A??iE)(?0??1????ni?1)??1??2????ni?1
1!(ni?1)!1!(ni?2)!比较x的同次幂的系数即得
?(A??iE)?0??1?(A??iE)?0??1??2?(A??iE)?0??2?(A??iE)?1??2??亦即?? ???(A??E)??ni?1(A??E)?0??ni?1ini?2??ni?1i???(A??iE)?n?1?0?(A??E)ni??0i?i0?因此，?0是（2.21）的非零解（否则（2.20）是（2.2）的零解），而?1,?,?ni?1满足（2.22）。注意在?1,?,?ni?1中只有前m个是非零向量，以后的全是零向量，其中m可能是1,2,等等，但最多是ni。
以上的推导过程可以全部逆推回去，故引理得证。
由线性代数的知识，我们有如下结果。
命题4 设矩阵A的互不相同的特征根为?1,?,?s，它们的重数分别为n1,?,ns，
(n1?n2???ns?n)；记n维常数列向量所组成的线性空间为V，则1）V的子集合
Vi?{??V(A??iE)ni??0}是矩阵A的ni，?i?1,2,?,s?维不变子空间，并且
2）V有直和分解V?V1?V2???Vs这样我们就可得如下主要结果。
定理6 设n阶实值常数矩阵A在复数域中互异的特征根为?1,?,?s，相应的重数分别为
n1,?,ns，(n1?n2???ns?n)。则常系数齐次线性微分方程组（2.2）有基解矩阵?(x)(1)(1)1为[e1P1(x),?,ePn1(x);?;e?x?x?sx?sx(s)(s)P(x),?,eP1ns(x)]（2.23）其中
P(x)??(i)j(i)j0x(i)x2(i)xni?1(i)??j1??j2????j,ni?1（2.24）是与?i相应的第j个向量多项1!2!(ni?1)!iii??????式?i?1,2,?,s;j?1,2,?,ni?，而?10是齐次线性代数方程组（2.21）的ni个,?20,?,?ni0线性无关解，且??jk?，?i?1,2,?,s;j?1,2,?,ni;k?1,2,?,ni?1?是把??j0?代替（2.22）
ii中的?0而依次得出的?k。
附注2 当所得出的?(x)是复值时，可利用本节附注1所述的方法，从?(x)提取实值基解矩阵。
0??31dY?????4?10?Y 例5 求解方程组
dx???4?8?2?3??解 由于det(A??E)??41?1???800??(??2)(??1)2 ?2??4所以矩阵A有特征根?1??2（单重根），?2?1（二重根）。
?0???如前例那样，容易求得?1??2对应的特征向量?1??0?
?1???考察二重特征根?2?1，容易算出
?A??2E?2?210??000????????4?20???000? ?4?8?3??28449?????22故，方程?A??2E???0有二个线性无关的解为
?10?11??3????????7?和?20???6? ?0??20?????把它们分别代入（2.22），并注意ni?2，得
?210??11??15??210??3??0?????????????11???4?20?7??30???4?20和21??????????6???0?
?4?8?3??0??20??4?8?3??20??0?????????????从而可得到方程组的一个基解矩阵
?0??(x)??0?e?2x?(11?15x)ex??7?30x?ex100xex3ex???6ex? 20ex??因此，方程组的通解为Y??(x)C其中C为任意常数列向量。或改写成下列形式
?0??11?15x??3???????Y?c1?0?e?2x?c2??7?30x?ex?c3??6?ex其中ci，?i?1,2,3?是任意常数。
?1??100x??20????????5?10?20?dY????5510?Y 例6 求解方程组
dx?9??24?解 由于det(A??E)??(??5)(?2?4??5)
所以矩阵A有特征根?1?5,?2?2?i,?3?2?i都是单根。
??10?10?20??102?????010???010? 对于?1?5，可以算出(A??1E)??5?2??44????000???2???（符号?表示对矩阵施行初等变换的过程），因此与?1相应的特征向量可取为?1??0?
?1?????10??7?i?10?20????3?i10???01对于?2?2?i，可以算出(A??2E)??5??2?47?i???00????3?i???因此与?2相应的特征向量可取为?2??2?i?
??2???31??i?22?11?i?
2??0????3?i???而?3??2，因此?3??2??2?i?从而可得方程组的一个基解矩阵
??2?????2ex??(x)??o?5x?e??3?i?e?2?i?x?3?i?e(2?i)x???2?i?x?2?i?x?2?i?e?2?i?e?
?2e?2?i?x??2e?2?i?x??为了得到实基解矩阵，采用附注1的方法，由?(x)的第二列，即
??3??1???3?i????2?i?x??????2x2?i???2??i??1??e?cosx?isinx???e??2???????????2??0???
??3????1???1??3????????????????2?cosx???1?sinx?e2x?i???1?cosx??2?sinx?e2x???0?????2????????????2????0??取实部与虚部，得到二个线性无关的实解
?3cosx?sinx??cosx?3sinx??2x??2x?2??2cosx?sinxe,???cosx?2sinx3????e
??2cosx????2sinx????于是方程组的实基解矩阵为
??2e5x?(x)??0???e5x??3cosx?sinx?e2x?cosx?3sinx?e2x???2cosx?sinx?e2x??cosx?2sinx?e2x?
?2cosxe2x?2sinxe2x???(x)C其中C为三维的任意常数列向量。 因此所求方程组的通解为Y??注意：在某些特殊情形下，也可以不采用上述介绍的方法求解，而是针对矩阵A的特点采
用相应的方法求解。
?220?dY????0?11?Y 例7 求解方程组
dx???002?解 经过计算可知，矩阵A有单重特征根?1和二重特征根2，很自然可以采用上面介绍的方法求解。但是，根据矩阵A的特点。我们可以采用较简捷的方法。将方程组写成分量的形式
?dy1?dx?2y1?2y2??dy2??y2?y3 ??dx?dy3?dx?2y3?容易看到，由第三个方程的线性方程
dy3?2y3容易求得y3?c3e2x将它代入第二个方程，得到关于y2dxdy2??y2?c3e2x dx求解此一阶线性方程，得
1y2?c2e?x?c3e2x
3再把y2代入第一个方程，得到关于y1的线性方程
dy12?2y1?2c2e?x?c3e2x dx3求此一阶线性方程，得
22y1?c1e2x?c2e?x?c3xe2x
33因此，方程组的通解为
?2??2??3x???3??1?????1?2x??Y?c1?0?e2x?c2?1?e?x?c3?e其中c1,c2,c3是任意常数。
?3??0??0?????1??????????