第一章 常微分方程
微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要渠道之一。它是研究许多自然科学、工程技术以及生物技术、农业、经济学等诸多问题的有力工具。因而微分方程具有重要的应用价值。本章主要介绍常微分方程的一些基本概念，以及求解几种常用的微分方程的一些最基本的解法。
§1－1 微分方程的基本概念
下面我们通过两个具体例题来说明微分方程的基本概念。
例1 一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M(x，y）处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程。
解 设所求的曲线方程为y=y(x),则根据导数的几何意义可知，未知函数y=y(x)应满足下面的关系：
dy?2x ， (1) dx且当x=1时,y=2. 即y(1)=2 (2) 对（1）式的
dy?2x两端积分，得 dx2 y=2xdx?x?C (3) 其中C是任意常数。
?将y(1)=2代人，得C=1. 代人(3)式，
即得所求曲线方程 y?x?1 （4）
例2一质量为m的质点，从高h处，只受重力作用从静止状态自由下落，试求其运动方程．
解 在中学阶段就已经知道，从高度为h处下落的自由落体，离地面高度s的变化规律为s=h－程．
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gt，其中g为重力加速度．这个规律是怎么得到的呢？下面我们给出推导过2 m ? 取质点下落的铅垂线为s轴，它与地面的交点为原点，并规定正 ? h 向朝上．设质点在时刻t的位置在s(t)（如 图1-1）．因为质点只受方向向下的重 s(t) 力的作用(空气阻力忽略不计)，由牛顿第二定律F=ma，得
d2s(t) m=－mg． 2dtO 图1-1
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d2s(t)即 =－g (5)
2dt 根据质点由静止状态自由下降的假设，初始速度为0，所以s=s(t)还应满足下列条件 s| t=0=h，
ds| t=0=0， (6) dt 对(6)式两边积分，得
ds(t)=－g?dt=－gt+C1 ， (7) dt两边再积分，得
s(t)=?(?gt?C1)dt=－
12gt+C1t+C2 ， (8) 2其中C1，C2均为任意常数．
将条件(7)代入(8)，(9)式，得C1=0， C2=h．于是所求的运动方程为
s(t)= －
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gt+h ． (9) 2上述两个例子中的关系式（1）和（5）中，都含有未知函数的导数，自变量也都只有一个，且方程都附加有一定的条件。
定义 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程为常微分方程，简称微分方程．
例1的方程(1)、例2的方程(5)都是常微分方程．
微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶．如例1的方程(1)是一阶微分方程，例2方程(5)是二阶微分方程．
例如：
dy?f?x?是一阶微分方程，y???3y??y?3x?1是二阶微分方程， dxy(4)?x3y????x2y???xy??y?cosx是四阶微分方程。
一般地，n阶微分方程的形式是Fx,y,y?,?,y?(n)??0， （10）
(n)其中F是n+2个变量的函数。这里必须指出，在方程（10）中y是必须出现的，而
x,y,y?,?,y(n?1)等变量则可以不出现。例如n阶微分方程y?n??1?0中除y(n)外其它变量
都没有出现。
二阶及其以上阶的微分方程统称为高阶微分方程。
未知函数及其各阶导数都以一次形式出现的微分方程称为线性微分方程，否则，称为非
2
线性微分方程。
由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数（解微分方程），即找出这样的函数，把这个函数代入微分方程能使方程成为自变量的恒等式，则称这个函数为微分方程的解．
即设函数y???x?在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，使得
??F?x,y,y?,?,y??0在区间I上的解。
(n)Fx,??x?,???x?,?,??n?1??x??0，那么函数y???x?就叫做微分方程
例如，例1中y?x2?c，（c为任意常数），y?x2?1都是微分方程y??2x的解。 如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数，且个数与方程的阶数相同，则称为微分
方程的通解。
例如y?x?c是微分方程y??2x的通解．
由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，要完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这一常数的值。为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件。如在例1中的条件（2）、例2中的条件(6)，就是这样的条件。
通常，如果微分方程是一阶的，用来确定任意常数的条件是x?x0时，y?y0，或写成yx?x02?y0 。
?或如果微分方程是二阶的，用来确定任意常数的条件是当x?x0时，y?y0，y??y0写成yx?x0? ，其中y0,y0?都是给定的值。 ?y0，y?x?x?y00上述这种条件叫做初始条件．如在例1、例2中的(2)、(7)，就是微分方程(1)、(5)的初始条件．
在微分方程的通解中，由初始条件确定任意常数而得到的解称为微分方程特解． 如例1中的y?x?1是微分方程y??2x 满足初始条件y(1)=2的特解． 求微分方程满足初始条件的特解的问题，称为初值问题．
微分方程解的图像是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。通解的图象是一族曲线，称为积分曲线族．
特解的图像是积分曲线族中一条特定的积分曲线． 例3 验证函数y=C1e+C2e
2x
－2x
2(C1， C2为任意常数)是方程y??－4y=0的通解，并求满
足初始条件y|x=0=0， y?|x=0=1的特解．
解 y?=2C1e2x?2C2e?2x，y??=4C1e2x?4C2e?2x，
2x将y， y??代入微分方程，得
y??－4y=4(C1e?C2e?2x)－4(C1e2x?C2e?2x)?0
3
所以函数y=C1e2x?C2e?2xe2x4x是所给微分方程的解．又因为?2x?e?常数，所以解中含
e有两个独立的任意常数C1和C2，而微分方程是二阶的，即任意常数的个数与方程的阶数相同，所以它是该方程的通解．
将初始条件y|x=0=0， y?|x=0=1分别代入y及y?中，得 C1+C2=0; 2C1－2C2=1 解得C1=14， C2=－14． 于是所求特解为y=14(e2x?e?2x)．
练习 1－1
1.指出下列方程中哪些是微分方程？并说明它们的阶数：
(1)d2ydx2－y=2x； (2)y2
－3y+x=0； (3)x(y?)2
+y=1； (4)(x2
+y2
)dx－xydy=0．
2.判断下列方程右边所给函数是否为该方程的解？如果是解，是通解还是特解？ (1)xy??2y, y?5x2 (2)y??+y=0， y=3sinx-4cosx (3)y??-2y?+y=0 y=x2ex；
(4)(x+y)dx=－xdy，y=(C?x2)2x（C为任意常数）．
习题 1—1
1.在下列个各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：
（1）y?c1cos(2x)?c2sin(2x) y???4y?0（c1，c2为任意常数）（2）y?c2x2x1e?c2e y???4y?0 （c1，c2为任意常数） (3) x2?xy?y2?c (x?2y)y??2x?y (c为任意常数) 2.在下列个各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给定的初始条件： （1） x2?y2?c ， yx?0?5
（2） y?(c1?c2x)e2x ，yx?0?0，y?x?0?1 3.写出有下列条件所确定的曲线所满足的微分方程
（1） 曲线在点（x,y）处的切线斜率等于该点的坐标之和。
（2） 曲线上点P（x,y）处的法线与X轴的焦点Q，且线段PQ被Y轴平分。
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4.设钢锭出炉温度为1150°，炉外环境温度为30°，钢锭出炉20 S后温度降到900°，试
求钢锭出炉后的温度T （°C）与时间的函数关系。
5.用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比，与温度成反比。
§1－2 一阶微分方程
本节我们讨论一阶微分方程 y??f?x,y? （1） 或F(x，y，y?)=0的一些解法。
一阶微分方程有时也写出如下的对称形式 P?x,y?dx?Q?x,y?dy?0 （2） 在方程（2）中，变量x,y对称，它既可看作是以x为自变量，y为未知函数的方程
dyP?x,y??? （这时Q(x,y)≠ 0），也可看作是以y为自变量， x为未知函数的方程dxQ?x,y?dxQ?x,y??? （这时P(x,y)≠ 0）. dyP?x,y?一、可分离变量的一阶微分方程
一般地，如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dy=f(x)dx , (3) 的形式，即能把微分方程写成一端只含有y的函数和dy,另一端只含有x的函数和dx则称其为可分离变量的微分方程。
其特点是：方程的两边仅含一个变量，这一形式可以看成是微分形式dy?f(x)dx的推广． 其解法是：
对（3）式两边同时求不定积分，即
?g(y)dy??f(x)dx, 依次记G(y)、F(x)为g(y)、f(x)的一个原函数，于是有
G(y)=F(x)+C． 即为方程 (3)的通解．
例1 求微分方程
dy=2xy的通解． dx解 这是一个可分离变量的方程，分离变量得 dy=2xdx，
y两边积分，得?dy??2xdx， y2
即 ln|y|=x+C1 或 y=?e方程的通解 y=Cex．
2x2?c1??e?e．
c1x2因为C1为任意常数，所以?ec1也是任意常数，把它记作C．代入后得
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