y?x3?3x?1
2、y??=f(y,y?)型的微分方程
对不显含x的(2)，因为等号右边f中不显含x而有y，如果也直接以y??=
dp代入，则dx方程成为
dp=f(y,p)，同时出现了两个未知函数p, y了．令y??p(y)，则 dxdpdpdydp， (3) ???pdxdydxdy y???这样方程就变为 pdp?f(y,p) dy这是一个以p为未知函数,y为自变量的一阶方程．若能求出它的通解p=
dy=?(y,C1)，则dx回复到一个以y为未知函数,x为自变量的可分离变量的一阶方程．继续求出其通解，即得(2)的通解了． 例5 求微分方程
yy???(y?)2?0 的通解.
dpdy,
解 方程不明显的含自变量x,设
y???p
y??p(y), 则
代入方程，得
yp
dp?p2?0dy
在y?0、p?0时，约去p并分离变量，得
dpdy?py.
两端积分得
ln|p|=ln|y|+C,
即
p?C1y，
或
y??C1y，
再分离变量并两端积分，便得方程的通解为
ln|y|=
?C1x?C2,
16
C 或 y?C2e1x ?C2??eC?2?.
例6 求方程y??=2yy?满足初始条件y|x=0=1, y?|x=0=2的特解． 解 作变换y??p(y),则y??= pdpdy 原方程可化为 dpdy?2y．
分离变量，得 dp=2ydy， 两边积分，得 p=y2
+C1 ， 即 y??y2?C1
以初始条件y|x=0=1, y?|x=0=2代入上式，得C1=1，所以 y?=y2+1， 即
dy2
dx=y+1． 分离变量，得
dy1?y2?dx 两边积分，得 arctany=x+C2， 以初始条件y|x=0=1代入，得C2=
?4． 故所求特解为 arctany=x+
?4， 即 y=tan(x+
?4)． 例7 求微分方程y??-3（y?）2
=0满足初始条件y(0)= 0, y?(0)=-1的特解． 解法1 令y??p(x), 则y??=p?，代入原方程，方程降阶为 p?-3p2
=0，即
dpp2=3dx． 两边积分得 ?1p?3x?C1．由y?(0)=p(0)=-1得C1=1．代入后得一阶方程 y??13x?1，即dy??dx3x?1． 再次两边积分得y??13ln(3x+1)+C2．又由y(0)=0，得C2=0，所以原方程的特解为
17
1 y??ln(3x+1)．
3解法2设方程为y???f(y,y?)型
令y?=p(y)，y???dpdpdydp代入原方程，得 ???pdxdydxdy
p?dp?3p2?0在p?0时，约去p并分离变量，得 dy
1dp?3dy 两边积分得ln|p|?3y?C p 即 p?C1e3y(C1??eC)
?3y 再分离并两端积分 edy?C1dx
??
1?e?3y?C1x?C2 3 即
?3y?ln(?3C1x?3C2)
1 , C1??1. 3 由于 y?(0)??1 , y（0）=0 , 得 C2?? 所以原方程的特解为：y??ln(3x?1)
13例8 已知曲率处处为常数
1的曲线，过点O(0,0)且在O点有水平切线，求此曲线． R 解 其实所求曲线必定是图1-2所示的两个半径为R圆，本例不过是一个验证．
y 设所求曲线的方程为y=y(x)，这样所求曲线必定是图中上面 一个圆的下半圆或下面一个圆的上半圆．
据曲率公式得到未知函数y应满足的微分方程及初始条件： 1|y??|=， (4) 232R(1?(y?))-R O x R y|x=0=y?|x=0=0． (5) 设y???0，则由(4)得 y??=作变换
y??p(x), 则y??=
31(1?(y?)2)2． (6) R图1-2
dp， dx 18
代入(6)，得 dp=1(1?p23dxR)2，分离变量得
dp=
1(1?p2)3Rdx． 两边积分，应用MathCAD软件或查简易积分表(公式33)，解得
p=
x1R+C1． ?p2以初始条件(5)代入得C1=0，所以
px2x2=，即 p=或pdyx．
1?p2RR2?x2=dx=?R2?x2分离变量并积分，得 y=?R2?x2+C2； 据初始条件(5)得C2=?R， 所以y=?R2?x2?R或x2+(y?R)2=R2
， (7)
所以所求曲线是方程x2+(y-R)2=R2（y?R）的下半圆．或者是方程x2+(y+R)2=R2， （y??R）的下半圆
3 如设y???0，则由（4）得到的是?y???1R(1?y?2)2，与上面解法类似
练习 1-3
1. 求解下列微分方程：
(1)y???=2x+sinx； (2)xy??=y?； (3)yy??+2(y?)2
=0 ． 2. 求下列微分方程满足所给条件的特解：
(1)?1?x2?y???xy??3,y?0??1,y??1??0 (2)y3y???1?0,y?1??1,y??1??0
习题 1—3
1. 求下列微分方程的解
（1）y????xex （2）y???11?x2 （3）y???1?(y?)2 （4）y???y??x
（5）xy???y??0 （6）y3y???1?0 2. 求下列微分方程满足所给条件的特解：
（1）y???a(y?)2?0 ， yx?0?0， y?x?0??1 （2）y???e2y ， yx?1?y?x?0?0
19
（3）y???(y?)2?1 ， yx?0?0 ，y?x?0?0
§1－4 二阶线性微分方程
本节我们将讨论二阶线性微分方程及其解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程和二阶常系数非齐次线性微分方程的解法等有关问题。
一、二阶线性微分方程及其解的结构
例 设有一个电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路，其中R、L及C为常数 ，电源电动势是时间t的函数：
E?Emsin?t，这里Em及?也是常数（图1-3）
uC，自感电动
设电路中的电流为i（t），电容器极板上的电量为q（t），两极板间的电压为
势为
EL，由电学知道
图1-3
i?
dqqdiuC?EL??Ldt,C,dt,
根据回路电压定律，得
E?L
diq??Ri?0dtC，
d2uCduLC2?RCC?uC?Emsin?tdtdt 即 ，
或写成
d2uCduCEm2?2???u?sin?t0C2dtLC dt， (1)
1LC.这就是串联电路的振荡方程.
R?0???2L， 式中
如果电容器经充电后撤去外电源（E=0），则方程（1）成为
d2uCduC2?2???0uC?02dt dt.
（2）
观察一下所得出的方程（1）可以归结为如下形式
20