例2 求微分方程y(1+x)dy+x(1+y)dx=0满足条件y|x=1=1的特解． 解 这是一个可分离变量的方程，分离变量得
22
ydyxdx，
??1?y21?x2两边积分，得 ?即
ydyxdx，
???1?y21?x2111ln(1+y2)=－ln(1+x2)?lnC．
2222
2
故方程的通积分为 (1+x)(1+y)=C． 将y|x=1=1代入通解表达式，得C=4． 因此，所求方程的特解为 (1+x)(1+y)=4．
例3 求微分方程1?eyy??e满足初始条件y(0)=0的特解．
解 这是一个可分离变量方程 分离变量，得 ydy?2
2
?x?xexdx， x1?ex12xe两边积分，ydy? 得 y?ln1?e?C1 ， dx??1?ex2??即方程通解为 y?2ln(1?e)?C （其中C=2C1）
由初始条件y(0)=0 得C=－2ln2 ．
因此方程满足初始条件的特解为y2?2ln1?ex?2ln2 二、齐次方程
若一阶微分方程可化成
2x??dyy??() （4） dxx的形式，则称此方程为齐次方程．
例如，方程x2dy=y2dx－xydy 就是齐次方程
2dyy因为，它可化成 ， ?dxx2?xy等号右边是一个2次齐次式，在分式的分子分母同除以x，即化方程为形式
y2dy(x)? y． dx1?x2
在齐次方程
dyy??() dxx中，只要作一个变量代换，就一定能将方程转化为新变量的可分离变量的一阶微分方程，从而求得通解．其具体步骤如下：
6
第一步 化原方程为形式(4)； 第二步 在(4)中作代换u=
y，则可化为 xdydu=u+x， y=ux，
dxdx代入(4)后得u+x
dudx=?(u)．这是一个关于u的可分离变量的一阶方程． 分离变量
dudx?(u)?u?x ． (5)第三步 两边积分得到(5)的通解
?dudx?(u)?u??x．
第四步 求出不定积分后以u?yx回代，即得原齐次微分方程的通解． 例4 求微分方程x
dydx?y?2xy的通解． 解 原方程可化为
dy2xydx=?yx． dydx?2yyx?x， 作变换u?yx，y=ux， dydx=u+xdudx，代入上式， 得 u?xdudx?2u?u， 分离变量，得 du2u?dxx；
两边积分，得 u=lnx+C，
x(u－1)=C．
将u?y回代，得原方程的通解yxx?lnx?C．
例5 解方程
解 原方程可写成
7
是齐次方程。因此，令，则
，
于是原方程为 ；即 。
分离变量，得 两端积分，得
，或写为
以
代入上式中的u，便得所给方程的通解为 。
三、一阶线性微分方程
如果一阶微分方程可化为
y?+P(x)y=Q(x) (6) 的形式，即方程关于未知函数及其导数是线性的，而P(x)和Q(x)是已知连续函数，则称此方程为一阶线性微分方程．当不含未知函数的项Q(x)≡0时，称方程(6)为关于未知函数y，y?的一阶非齐次线性微分方程；反之，当Q(x)?0时即变为
y?+P(x)y=0 (7) 称其为(6)所对应的一阶齐次线性微分方程． (7)分离变量后得
dy=－P(x)dx，
y两边积分，得
lny=－?P(x)dx+C，
式中?P(x)dx表示P(x)的一个原函数，于是一阶齐次线性微分方程(1－5)的通解为
?P(x)dx y=Ce?， (8)
其中C为任意常数．
比较(6)，(7)，差别仅在(6)的等式右端是一个函数，根据函数的求导特点，试设(6)的解为
8
?P(x)dx y=C(x)?e?， (9)
即把齐次方程通解中的任意常数C改变为x的待定函数C(x)，然后求出C(x)使之满足非齐次线性方程(6)．
?P(x)dx?P(x)dx对(9)求导得 y?=C?(x)?e?+C(x)??P(x)?e? (10)
将(9)、(10)式代入(6)式，经整理后得 C?(x)=Q(x)e?积分后得
C(x)=?Q(x)e?P(x)dxP(x)dx，
dx+C (11)
将(11)式代入(9)式，即得一阶非齐次线性方程(6)的通解公式
?P(x)dxP(x)dx y=e?[?Q(x)e?dx+C]， (C为任意常数)． (12)
上述通过把对应的齐次线性方程通解中的任意常数C改变为待定函数C(x)，然后求出非齐次线性方程通解的方法，称为常数变易法．
将(12)式改写成下面的形式：
?P(x)dx?P(x)dxP(x)dx y=C?e??e?Q(x)e?dx．
?上式右端第一项恰是对应的齐次线性方程(7)的通解；第二项可由非齐次线性方程(6)的通解(12)中取C=0得到，所以是(6)的一个特解．
由此可知，一阶非齐次线性方程的通解结构是：对应齐次方程的通解与它的一个特解之和．
例6 求方程(1+x)y?－2xy=(1+x)的通解．
解 原方程可化为 y??
所以原方程是线性非齐次的， P(x)= －
2
22
2xy?1?x2， 21?x2x2
，Q(x)= 1+x． 21?x方法1（常数变易法）： （１）对应齐次方程y?－
2xy=0， 1?x2分离变量，得
dy2x?dx， 2y1?x2
两边积分，得 lny=ln(1+x)+lnC，
9
所以齐次方程通解为y=C(1+x)．
（２）设y=C(x)(1+x)，代入原方程，得 C?(x)(1+x)+2xC(x)－
2
2
2
2
2
2x22
C(x)(1+x)=1+x， 21?x C?(x)(1+x)= (1+x)，
C?(x) =1， C(x)=x+C．
由此得到原方程的通解为：y=(x+C)(1+x)．
方法2(公式法)： 原方程的通解 y=e?2x1?x2dx2
[?(1?x)e22??2x1?x2dxdx?C]
2
=eln(1?x)[(1?x)dx?C]=(1+x)(x+C)．
?(1?x2)2 有时方程不是关于未知函数y，y?的一阶线性方程，若把x看成y的未知函数x=x(y)，方程成为关于未知函数x(y)，x?(y)一阶线性方程
dx?P1(y)x?Q1(y)． dy这时也可以利用上述方法求解，得到解的形式是x=x(y，C)．对原来的未知函数y而言，得到的是由方程x=x(y，C)所确定的隐函数．
y??例7 求微分方程
2y?xx的通解。
2解：方程是一阶线性微分方程.这里P(x)=x,Q(x)=x.由通解公式（12）知方程的通解为：
y=e
2?dxx?(
?xe?xdx2dx+C)=e?2lnx2lnx(xedx+C)
?
11x4Cx23?xdx?Cx2422?x4. x =()=( +C)=
的通解。
5dy2y??(x?1)2例8 求方程 dxx?1
解 这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次方程的通解。
dy2?y?0dxx?1 ，
dy2dx?yx?1
lny?2ln(x?1)?lnC
10