2, 当λ等于重特征根．
???例4 求微分方程y?2y?3y?3x?1的一个特解。
?xP(x)=3x+1，P(x)em解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数f（x）是型（其中m??0）。
与所给方程对应的齐次方程为
y???2y??3y?0，
它的特征方程为
r2?2r?3?0.
由于这里??0不是特征方程的跟，所以应设特解为
y*?b0x?b1
把它代入所给方程，得
?3b0x?2b0?3b1?3x?1，
比较两端x同次幂系数，得
??3b0?3???2b0?3b1?1
1
3。于是求得一个特解为
1y*??x?
3由此求得
b0??1，
b1?
2x???y?5y?6y?xe例5 求微分方程 的通解。
?xP(x)em解 所给方程也是二阶常系数非齐次线性微分方程，且f（x）呈型（其中
Pm(x)?x，??2）
，与所给方程对应的齐次方程为
y???5y??6y?0
它的特征方程
r2?5r?6?0
有两个实根
r1?2， r2?3.于是与所给方程对应的齐次方程的通解为
Y?C1e2x?C2e3x
26
由于??2是特征方程的单根，所以应设y为
把它代入所给方程，得
*y*?x(b0x?b1)e2x
001
比较等式两端同次幂的系数，得
?2bx?2b?b?x??2b0?1??2b0?b1?0
解得
b0?12，b1??1.因此求得一个特解为 1y*?x(?x?1)e2x2.
1y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x2.
从而所求的通解为
(2) f(x)=e (acos?x+bsin?x)的情况．
λx
与(11)类似讨论，特解y*(x)必定具有形式
y*(x) =xke (Acos?x+Bsin?x) (14)
λx
其中A, B为待定系数，k的取法如下： 0, 若λ?i?不是特征根；
k= 1, 若λ?i?是特征根．
以(14)代入非齐次方程，比较等式两端cosβx,sinβx前的系数，定出系数A,B．
例6 求微积分方程y???y?3sinx 的一个特解。
2 解： 特征方程??1?0有一对共轭复根???i。
而自由项f?x??3sinx?e0x?0?cosx?3sinx?
即??0,??1,p1?x??3.因为???i?0?i是特征根，所以应设特解 y?x?Acosx?Bsinx?
? 式中A ,B 表示两个特定的零次多项式，即待定常数。将y?带入原方程，得 -2Asinx +2Bcosx=3sinx.
27
比较sinx 及cosx 各自的系数。可得
3???2A?3A??? ?,由此解得?2.
2B?0??B?0? 从而特解为 y???3xcosx. 2综上所述，求解二阶常系数非齐次线性微分方程（11）的步骤如下： 第1步 用特征根法求出相应的齐次方程的通解Y;
*~y; y?y?第2步 用待定系数法求出方程（11）的一个特解y*,写出通解
第3步 如果还给出初始条件得满足初始条件的特解.
?y(xo)?yo,y?(x0)?y0,则由此条件确定常数C1,C2从而求
练习 1－4
1．选择题
(1)微分方程2y???3y??y?0的通解为（ ） A.y?C1e?C2eC.y?C1e?C2exx?2x;
B.y?C1e
?x?C2e?x?x2;
?x2;
D.y?C1e?C2e2x;
(2)微分方程y???2y??6y?ex是（ ） A.齐次的；
B.非齐次的；
C.变系数的；
D.二阶的；
(3)微分方程y???y?0的通解是（ ） A.y?Asinx;
B.y?Bcosx;
C.y?sinx?Bcosx; 2.填空题
D.y?Asinx?Bcosx
（1）微分方程y???6y??13y?14的通解为______. （2）微分方程y???2y??3y?2x?1的通解为______ 3． 求下列微分方程的通解：
(1)y??－3y?－10y=0； (2)y??+5y=0．
4． 求微分方程y??+2y?+2y=0满足初始条件y?(0)=－2， y(0)=4的特解． 5． 写出下列方程特解的形式：
28
(1)y??+3y?+2y=xe?x， y*(x)= ； (2)y??－2y?+y=e?x，y*(x)= ； (3)y??+2y?+2y=e –xsinx，y*(x)= ． 6． 求方程y??－2y?－3y=3x+1的一个特解． 7．求方程y??+4y=sin2x的一个特解．
习题 1-4
1. 求下列微分方程的通解：
（4）
2. 求下列微分方程满足初始条件的特解：
（3）
（4）
3. 求下列微分方程的通解：
（2） （3） （4）
4. 求下列微分方程满足已给初始条件的特解：
29
直线y=x+2相切． 6、
5. 求满足方程y??+4y?+4y=0的曲线y=y(x)，使该曲线在点P(2,4) 处与
30