d2ydy?Px?Q?x?y?f?x???2dxdx， （3）
而方程（2）是方程（3）的特殊情形：
f?x??0.
方程（3）叫做二阶线性微分方程。当方程右端
f?x??0时，方程叫做齐次的；当
f?x??0时，方程叫做非齐次的。
于是方程（1）是二阶非齐次线性微分方程；方程（2）是二阶齐次线性微分方程。
形如 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)， (3)
的二阶微分方程称为二阶线性微分方程。
其中P(x)、Q(x)及f(x)是自变量x的已知函数，函数f(x)称为方程(3)的自由项. 当
f(x)?0时, 方程(3)成为
y???P(x)y??Q(x)y?0， (4)
这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，当f(x)?0时,方程(3)称为二阶非齐次线性微分方程.
定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(4)的两个解, 则
y?C1y1(x)?C2y2(x)
也是方程(4)的解，其中C1,C2是任意常数.
由定理1可知，如果y1(x),y2(x)是齐次方程(4)的解，则它们的“线性叠加”：
y?x??C1y1(x)?C2y2(x)也是该方程的解，其中C1,C2是任意常数。那么它是不是（4）
的通解呢？显然，如果y1(x)和y2(x)之比
y1?x??k（k为常数），则
y2?x?y?x??C1y1(x)?C2y2(x)??C1k?C2?y2?x? 它实际只含一个任意常数，因而不是方程(4)
的通解。只有当y1(x)和y2(x)之比不为常数时y?x??C1y1(x)?C2y2(x)中的两个任意常数C1,C2不能合并成一个任意常数，从而y(x)是齐次方程（4）的通解。
我们把满足条件
y1?x?y?x?的函数y1(x),y2(x)称为是线性相关的，如果1?k（常数）y2?x?y2?x?不是常数时，称它们是线性无关的。
定理2 如果y1(x)与y2(x)是方程(4)的两个线性无关的特解，则
y?C1y1(x)?C2y2(x)
就是方程(4)的通解，其中C1,C2是任意常数.
xx 例如，方程y???2y??y?0是二阶齐次线性微分方程，容易验证y1?e,y2?xe是所
21
y2xex给方程的两个解，且即它们是线性无关的，因此方程y???2y??y?0?x?x?常数，
y1e的通解为y?C1ex?C2xex
下面讨论二阶线性非齐次微分方程（3）的解的结构。
定理3 设y?是方程(3)的一个特解，而Y是其对应的齐次方程(4)的通解，则
y?Y?y?
就是二阶非齐次线性微分方程(3)的通解.
例如，方程y???2y??y?x?1是二阶非齐次线性微分方程，已知y?C1ex?C2xex是对应的齐次方程y???2y??y?0的通解，又容易验证y*?x?1是所给方程的一个特解，因此，y?C1ex?C2xex?x?1是所给方程的通解。
根据上述定理，求解二阶线性非齐次微分方程归结为：求其一个特解y及求相应的齐次方程的两个线性无关的解y1,y2。一般情况下求y?和y1,y2是相当困难的，然而当P(x)、Q(x)均恒为常数时，可借助于初等代数方法求解。
?
二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为
y??+py?+qy=0． (5)
若y1，y2是(5)的两个解：且
y1?常数，则(5)的通解为 y2y=C1y1+C2y2，(C1，C2为任意常数) (6)
因为函数y=erx的各阶导数与函数本身差别仅是常数因子，据方程常系数的特点，可设想(5)以y=erx形式的函数为其解．事实上，将y=erx代入(5)，得 erx(r2+pr+q)=0． 这表明，只要r是代数方程
r2+pr+q=0 (7) 的根，那么函数y=erx确实是(5)的解．称(7)为特征方程，并称特征方程的根为特征根．上述讨论表明，只要r1是特征根，y=er1x必定是(5)的一个解． （1）两个相异实特征根
设(7)有两个相异实根r1，r2，则y1=er1x， y2=er2x是齐次方程(5)的解，据(6)，即可知通解为
y=C1er1x+C2er2x，(C1，C2为任意常数) (8) （2）两个共轭复特征根r1=?+?i， r2=?－?i
y1=er1x， y2=er2x仍然是(5)的解．据复数的指数形式(欧拉公式) y1=er1x=e?+?i)x=e?x(cos?x+isin?x)， y2=er2x=e?(
(－?i)x=e?x(cos?x－isin?x)；
由方程线性性质可知
22
y*=
1?y1?y2?=e?xcos?x， y**=1?y1?y2?=e?xsin?x是(5)的解， 22i且
y??cot?x?常数． y??因此通解为
y=C1e?xcos?x+C2e?xsin?x或y=e?x(C1cos?x+C2sin?x) (C1，C2为任意常数) (9) （3）两个相等实特征根r1=r2
这时只得到微分方程(5)的一个解y1=er1x．
为了得出微分方程(5)的通解，还需求出另一个解y2，并且要求
y2不是常数。 y1设
y2?u?x?，即y2?er1xu(x)，下面来求u(x). y1rxrx??e1(u??r1u)，y2???e1(u???2ru??r12u)，代人微分方程(5)，得将y2求导，得y2?得u????2r?p?u???r1er1xu???2r1u??r12u?p?u??r1u??qu?0。约去erx，并以u??,u?,u为准并合并同类项，
1??21?pr1?qu?0
????由于r1是特征方程(7)的二重根，因此r12?pr1?p=0，于是得u?0 1?q=0，且2r因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨取u=x， 由此得到微分方程(5)的另一个解y2=xer1x 这样可知(5)的通解为
y=C1er1x+C2 xer1x 或 y=(C1+C2x)er1x (10) 综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程(5)通解的步骤如下： 第一步 写出微分方程所对应的特征方程r+pr+q=0；
第二步 求出特征方程的两个根r1，r2；
第三步 根据特征根的不同情况，按下表写出(8－13)的通解：
特征根的情况 两个不等实根r1?r2 两个相等实根r1=r2
例1 求微分方程y??－2y?－3y=0的通解．
解 特征方程为r－2r－3=0， 特征根为 r1=－1， r2=3．
微分方程的通解为y=C1e?x2
2
方程y??+py?+qy=0的通解形式 y=C1er1x+C2er2x y=(C1+C2x)er1x 一对共轭复根r1，2=???i，(?>0) y=e?x(C1cos?x+C2sin?x) ?C2e3x．
dsd2sds 例2 求微分方程42?4?s?0满足初始条件s|t=0=1， |t?0=2的特解．
dtdtdt 23
解 特征方程为4r－4r+1=0， 特征根为r1=r2=
2
1． 2t2微分方程的通解为 s=(C1+C2t)e．
ttds122 将上式对t求导，得 =(C1+C2t)e+C2e．
dt2将初始条件分别代入上面两式，得C1=1， C2=
t3t)e2． 23． 2微分方程的特解为 s=(1+
例3 求微分方程y??+2y?+3y=0的通解． 解 特征方程为r+2r+3=0， 特征根为r1，2=－1?2i，
方程的通解为 y=ex(C1cos2x+C2sin2x)．
三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
形如 y??+py?+qy=f(x) （11） 的方程，其中p,q是常数，称为二阶常系数线性非齐次微分方程。
由定理3知，求二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，归结为求对应齐次方程y??+py?+qy=0的通解和（11）本身的一个特解。由于二阶常系数线性齐次微分方程通解的求法在上一段已详细讨论了，所以在这里只需要讨论求二阶常系数线性非齐次微分方程的一个特解y?的求法，这种方法的特点是，不用积分就可求出y?来，它叫做待定系数法。
(1) f(x)=Pm(x)e情况．
我们知道，方程（11）的特解y是使（11）成为恒等式的函数。怎样的函数能使（11）成为恒等式呢？因为（11）
（11）的特
***解。把y、(y)?及(y)??代入方程（11），
－
2
?x?（11）
为此，将
24
代人方程（11）并消去e，得
?x
（12）
（i）如果?不是（5）
（12）的两端恒等，Q(x)应与Pm(x)同次
多项式。设
Q(x)?代人（12）式，
（12）
（12）
（11）具有形式y*(x) =xkQm(x)e
λ
x (13)
的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)同次 (m次)的多项式，而k的取法如下： 0, 当λ不等于特征根；
k= 1, 当λ等于两个相异特征根之一；
25