用常数变易法。把C换成u，即令
y?u(x?1)2 （＊）
dy?u?(x?1)2?2u(x?1)那么 dx
代入所给非齐次方程，得
32u?(x?1)2?C3
再把上式代入（＊），即得所求方程的通解为
3?2?2y?(x?1)?(x?1)?C??3?.
2
例9 求方程 xy??y?x2ex 满足初始条件y（1）=1的特解.
解：在方程两边同时除以x,将方程化为标准形式
y??1y?xex x?这里P(x)=
1?dxx1x,Q(x)= xex ,由通解公式（10.12）知方程的通解为：
xy=e
xe(?e??xdxdx+C)= e1lnxxe (?xe?lnxdx?Cx
)=x(e?C).
将初始条件y(1)=1代入得：C=1?e.方程的特解为
y?x(ex?e?1).
例10 质量为2kg的物体，在重力和与速度成正比的阻力作用下，从高为500m处自由下落．设阻力系数k=1．0，求下落距离和下落速度的变化规律，并求物体落地时间及落地时的速度．
解 如图所示，向下为正．设下落距离s=s(t)，则下落速度、加速度为 v(t)=s?(t)，a(t)=s??(t)． 物体下落过程受力：
重力F1=mg=2g(g为重力加速度)； 阻力F2=－kv(t)=－s?(t)．
据牛顿第二定律F=ma，得s(t)满足的方程：
O s(t) 500 11
2s??(t)=2g－s?(t)． (13) 因为是自由落体，所以s(t)还应满足初始条件
s(0)=0， s?(0)=0． (14) 改写(13)为
2s??(t)+s?(t)=2g，即 [2 s?(t)+s(t)]?=2g， 所以 2s?(t)+s(t)=2gt+C1．
以初始条件(14)代入，得C1=0，所以s(t)满足方程
2s?(t)+s(t)=2gt，即 s?(t)+0．5s(t)=gt． (15)是关于s(t)， s?(t)的一阶线性非齐次方程，应用公式(12)，得
s(t)=e??0.5dtt[?gte?0.5dtdt+C]=e－0． 5t[g??te0.5tdt+C] =e
－0．5
t[2g(te0.5t??e0.5tdt)+C]=e
－0．
5t
[2g(t－2) e0．5t +C]
=2g(t－2)+Ce
－0．5
t．
以初始条件s(0)=0代入，得C=4g，所以 s(t)=2g[t－2(1－e
－0．5
t)]， (16) v(t)=s?(t)=2g(1－e
－0．5
t)．
以s=500代入(16，17)，取g=9．8，得 500=19．6[t－2(1－e
－0．5
t)]，
19．6t+39．2e
－0．5
t－539．2=0，求得近似解
t?27．51．
v(27．51)=2?9．8(1－e－0．5?27．51
)?19．6(m/s)．
所以物体约在下落后27．5s时落地，落地时的速度约为19．6m/s．
练习 1－2
1． 判别下列一阶微分方程中，哪些是属于可分离变量、齐次或线性方程类型的：(1) xdy+y2
sinxdx=0； (2)
dydt+3y=e2x； (3)dy=
dxx?y2； (4)(x+1)y?－3y=ex(1+x)4； (5)xdydx?y?2xy； (6)(x2
+1)y?+2xy=cosx ． 2． 求解下列微分方程：
(1)y??y2； (2) ex?ydy=dx (3)xdydx?ylnyx (4)
dyyydydx?x?x,yx?i?2； (5)
?y?e?xdx．
(15) (17)
12
(6)y?6x
?2?dy?2y=0 dx习题1—2
1． 求解下列微分方程。 ⑴xy'-ylny=0 ⑵
dy?10x+y ⑶ (x2y+y)dy+(xy2+x)dx=0 dx⑷ (e-e)dx+(e+e)dy=0 ⑸cosxsinydy+sinxcosydy=0 ⑹ 1?x2y'?0
x+1
x
x+y
y
2.求解下列微分方程。
⑴ (x-y)ydx-xdy=0 ⑵ (x+y)dx-xydy=0 ⑶y'=
2
2
2
yy322
+tan ⑷ 2xdy+y(y-2x)dx=0 xxx
2
2
3.求解下列微分方程。
⑴ y'+y=2e ⑵ xdy+(2xy-x)dx=0 ⑶y'+2xy=4x ⑷ ?x?2?dy3?y?2?x?2? ⑸ y'+ycosx=e-sinx ⑹ ylnydx+(x-lny)dy=0 dx4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解。 ⑴ y'=e
2x-y
y|x=0=0 ⑵ y'sinx=ylny yx?y?e
2yx⑶ xdy?2ydx?0 yx?2?1 ⑷ y'?e?y yx?1?0 x2222⑸ x?2xy?ydx?y?2xy?xdy?0 yx?1?1
????⑹
dyysinxdy???3y?8 yx?0?2 yx???1 ⑺ dxxxdxy⑻ ydx?x?edy?0 yx?2?3
??5．一曲线通过点（2，3），它在两坐标间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程。 6．设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于0的时刻起，有一个与运动方向一致，大小与时间成正比（比列系数为K1）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比列系数为K2）的阻力作用，求质点运动的速度与时间的函数关系。
7．设有一个由电阻R=10?，电感L=2H（亨）和电源电压E=20sin5t V(伏)串联组成的电路，开关K合上后，电路中有电流通过，求电流i与时间t 的函数关系。
13
§1-3 可降阶的高阶微分方程
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。对于有些高阶微分方程，我们可以通过代换将它化为较低阶的方程来求解。本节介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法。 一、y(n)=f(x)型的微分方程
微分方程y(n)=f(x)的特点:方程右边仅含有自变量x的函数．
降阶方法：只要通过逐次积分，就能逐次降阶，直到成为一阶方程．即在两边积分一次，得n-1阶方程y(n-1)=?f(x)dx+C1；再积分一次，得n-2阶方程y(n-2)=?[?f(x)dx]dx+C1x+C2； 如此继续，便可得到所求方程的通解．
例1 求微分方程y???=x+1的通解． 解 两边积分，得 y??=?(x?1)dx=
12
x+x+C1； 211312
两边积分，得 y?=?(x2?x?C1)dx=x+x+C1x+C2；
622111413C12
两边积分，得 y =?(x3?x2?C1x?C2)dx=x+x+x+C2x+C3．
622462 例2 求微分方程
y???=e2x –cos x
的通解.
解 对所给方程连续积分三次，得
y??=
12x
e–sin x+C 212x
e+cos x+Cx+C2 4
y?=
y=
12x C??2e+sin x+C1x+C2x+C3，?其中C1?? 82??这就是所求的通解.
二、缺项型二阶微分方程
二阶微分方程的一般形式应该是 y??=f(x,y,y?)．
所谓缺项型，是指右边等号中或者不显含未知函数项y，成为
y??=f(x,y?) (1) 或者不显含自变量项x，成为
y??=f(y,y?) (2) 降阶方法：对缺项型二阶方程，只要引进新变量 p=y?,都可以降阶为p的一阶方程，只是演化的过程略有区别．
14
1、y??=f(x,y?)型的微分方程
对右端不显含y的(1)，如果我们设y??p代入，方程变为
dp=f(x,p)，这是一个以dxp为未知函数,自变量仍然是x的一阶方程．若能求出它的通解p=?(x,C1)，则只要对y?=?(x,C1)再积分一次，即得原方程的通解为y=??(x,C1)dx+C2． 例3 求方程y??-
y?=xexx的通解． 解 作变换y??p(x)，,则y??=
dpdx． 原方程可化为
dp?1p?xexdxx． 方程的通解为 p=e??(?1x)dx(?xee??1xxdxdx?C*1)=elnx(
?xexeln1xdx?C?1)
=x(?exdx?C?1)?xex?C?1x， 即 dydx=x(ex+C?1)． 所以原方程的通解为 ? y=?(xex?C?1x)dx+C2=ex(x-1)+C1x2+C2, (其中
C1=C12)．
例4求微分方程 ?1?x2?y???2xy?满足初始条件 yx?0?1, y?x?0?3 的特解.
解 所给方程是 y???f(x,y?)型的。设y?=p，代入方程并分离变量后，有
dpp?2x1?x2dx. 两端积分，得
ln|p|?ln(1?x2)?C1
即由条件y?x?0?3，得
C1=3,
所以
y??3(1?x2).
两端再积分，得 y?x3?3x?C2. 又由条件yx?0?1,得
C2?1，
于是所求特解为
15