（1）求出过点P0的切线方程；（2）设xn?f(n),求f(n)的表达式； （3）设Sn?x0?x1???xn,求 解：（1） ?k0?2x0?4∴过点P0的切线段为y?4?4(x?2)即4x?y?4?0
2 （2）?kn?2xn ∴过点Pn的切线方程为y?xn?2xn(x?xn) 2 将Qn?1(xn?1,0)的坐标代入方程得：?xn?2xn(xn?1?xn) ?xn?1?xnx1?n?1? 2xn2 故数列{xn}是首项为x0?2,公比为1的等比数列?xn?f(n)?2?(1)n即f(n)?(1)n?1
222 （3）
2(1??Sn?)12n?1?S?4(1?1) ?limSn?lim4(1?n?1)?4
n??n??n212n?11?21例12 已知点Pa?a·b，b?，bn?1nn?1n?1nnn满足：a （1）求过点P0，P1的直线l的方程；
（3）求点Pn的极限位置。
??b?12?n，且已知，nN?P0?，? 2?33?1?an （2）判断点Pn?n?2?与直线l的位置关系，并证明你的结论；
2121313?3，解：（1）由a，得： ?，b?1b?a??? 显然直线l的方程为x?y?00112334344?1?1????3?3131414?4， （2）由a，得： ?，b?b?a??? 11222445455?1?1????4? ∴点Pl，猜想点Pn?n?2?在直线l上，以下用数学归纳法证明： 当n＝2时，点Pl 2?2? 假设当n时，点P 当n时， ?k?1l，即ab1?kk(?2)k?k?k? a ?b?ab·?bk?1k?1kk?1k?1??1?ak?bk?1 ??1?ak?bkbk? 21?ak1?ak?1 ∴点P ?l?n?2l 综上，点P?nk?1??ab·，b?n2，ab??（3）由a，得： n?1nn?1n?1nn1b1?anb1?aannna?a·?a·?a0??n?1nnn?221?a1?a1?a?1?1nnn?3为首项公差为1的等差数列 ∴数列?是以?11aa0?n????1aan?1n11?3?n，an?ann?31n?2bn?1?an?1??n?3n?3 ?lima?lim1?0
nn??n??n?321?n?2n?1limbn?lim?limn??n??n?3n??31?n? ?即点Pn的极限位置为点P（0，1） P???P01，n例13 如图，P1(x1,y1),P2(x2,y2),?,Pn(xn,yn),(0?y1?y2???yn)是曲线
??C:y2?3x(y?0)上的n个点，点Ai(ai,0)(i?1,2,3,?,n)在x轴的正半轴上，?Ai?1AiPi是正三角形(A0是
坐标原点) .(Ⅰ) 写出a1,a2,a3；
(Ⅱ)求出点An(an,0)(n?N*)的横坐标an关于n的表达式； (Ⅲ)设bn?11111，若对任意正整数n，当m???1不等式t2?2mt??bn?????,1?时，
an?1an?2an?3a2n6恒成立，求实数t的取值范围.
解：(Ⅰ) a1?2,a2?6,a3?12. (Ⅱ)依题意An(an,0),An?1(an?1,0)，则
a?an?a?anxn?n?1，yn?3?n?122?在正三角形PnAn?1An中，有
??? 3分 ?y P3 P2 P1 A0 yn?33|An?1An|?(an?an?1) . 22O A1 A2 A3 x 3?a?an??3?n?1?(an?an?1). ?22???an?an?1?2(an?1?an)，?an2?2an?1an?an?12?2(an?an?1)(n?2,n?N*) ， ①
同理可得an?12?2an?1an?an2?2(an?1?an)(n?N*) . ②
(n?2,n?N*)
①-②并变形得(an?1?an?1)(an?1?an?1?2an?2)?0?an?1?an?1，?an?1?an?1?2an?2?0 ， ?(an?1?an)?(an?an?1)?2(n?2,n?N*) .
∴数列?an?1?an?是以a2?a1?4为首项，公差为2的等差数列.
?an?1?an?2(n?1),(n?N*) ，
?an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)???(an?an?1)?2(1?2?3???n)?n2?n.
?an?n(n?1)(n?N*).
(Ⅲ)解法1 ：∵bn?1111?????(n?N*)， an?1an?2an?3a2n?1an?41a2n?2???1 an?11a2n?2(n?N*).
∴bn?1?1an?2?1an?3??bn?1?bn?1a2n?1?111?2(2n2?2n?1)???. ?(2n?1)(2n?2)(2n?2)(2n?3)(n?1)(n?2)(2n?1)(2n?2)(2n?3)(n?2)∴当n?N*时，上式恒为负值，∴当n?N*时，bn?1?bn，∴数列?bn?是递减数列.
?bn的最大值为b1?11?. a26若对任意正整数n，当m???1,1?时，不等式t2?2mt?111?bn恒成立，则不等式t2?2mt??在666m???1,1?时恒成立，即不等式t2?2mt?0在m???1,1?时恒成立.
2 设f(m)?t?2mt，则f(1)?0且f(?1)?0，
2??t?2t?0∴? 解之，得 t??2或t?2，即t的取值范围是(??,?2)?(2,??).
2??t?2t?0??12例14 △ABC中，|AB|=|AC|=1，AB·AC?，P1为AB边上的一点，BP≠AB，从P1向BC作垂线，垂足123是Q1；从Q1向CA作垂线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次得Q2，R2，
P3；Q3，R3，P4??
x （1）令BPn为xn，寻求BPn与BPn?1（即xn与n?1）之间的关系。 ，PPP，，??P（2）点列P是否一定趋向于某一个定点P0？其理由； 1234nB|?1，|BP|?，则是否存在正整数m，使点P0与Pm之间的距离（3）若|A1小于0.001？若存在，求m的最小值。
13??1B·AC?，∴∠BAC?60°解：（1）由|AB|=|AC|=1，A
2 从而△ABC为边长为1的正三角形
1122111111 同样 C RC?Q·°cos60?(1?x)AR?1?(1?x)??xnnnnnn2222241111113131 又A 即P?AR·°cos60?(?x)BP?1?(?x)??xx??xn n?1nnn?1nnn?12242244848212（2）由（1）可得：x ???(x?)n?1n3832221221n?1∴{的等比数列 ∴ x?}，当x≠时，是以x?为首项，公比为?x??(x?)(?)n11n1333833822 当n ∴点P趋向点P，其中P在AB上，且BP ???时，x??n000n3310002211m?1m?11m?11m?1 （3）P 由 |PP|?0.001得()?0.003，∴8?P??|x||?x?|()?()0m0mm18333838000m?11 当m∴m?4的最小值为4 ?4时，8?，m3 则B，于是B ∴CQ?BP·cos60°?xQ?xn P?x，则BPx?nnnn?1nnn?1n?1例15 已知曲线Cn:x2?2nx?y2?0(n?1,2,?)．从点P(?1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn?0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn)．
（1）求数列{xn}与{yn}的通项公式；（2）证明：x1?x3?x5???x2n?1?1?xnx?2sinn. 1?xnyn22222解：（1）设直线ln：y?kn(x?1)，联立x?2nx?y?0得(1?kn)x2?(2kn?2n)x?kn?0，则
222??(2kn?2n)2?4(1?kn)kn?0，∴kn?n2n?1（?n2n?1舍去）
2knnn2n?1n2x?，即，∴ y?k(x?1)?x??nnnn22n?1n?11?kn(n?1)2nn1?xnn?1??（2）证明：∵
n1?xn1?n?11?1 2n?1x1?x3?x5?????x2n?1?132n?1132n?11 ??????????????242n352n?12n?1∴x1?x3?x5?????x2n?1?1?xn
1?xn由于
xn?yn1?xn1'，可令函数f(x)?x?2sinx，则f'(x)?1?2cosx，令f(x)?0，得?2n?11?xncosx?2??，给定区间(0,)，则有f'(x)?0，则函数f(x)在(0,)上单调递减，∴f(x)?f(0)?0，即244x?2sinx在(0,)恒成立，又0?4则有
?11???，
2n?1341?xnx11，即?2sin?2sinn. 2n?12n?11?xnyn例16 数轴上有一列点P1，P2，P3，?，Pn，?，已知当n?2时，点Pn是把线段Pn – 1 Pn+1作n等分的分点中最
靠近Pn+1的点，设线段P1P2，P2P3，?，Pn Pn + 1的长度分别为a1，a2，a3，?，an，其中a1 = 1．
（1）写出a2，a3和an（n?2，n?N*）的表达式； （2）证明a1 + a2 + a3 +?+an < 3（n?N*）；
（3）设点Mn( n，an)（n > 2，n?N*），在这些点中是否存在两个点同时在函数y?如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． .解：(1) 由已知Pn?1Pn?(n?1)PnPn?1，
令n = 2，P1P2 = P2P3，所以a2 = 1， 令n = 3，P2P3 = 2P3P4，所以a3?同理，
111an1an?1??an?2． 所以an??n?1n?1n?2an?1n?1k(k?0)的图像上，
(x?1)21， 21111??????1?(n?2)
n?1n?22(n?1)!(2) 因为
1111???n?2(n?2)
(n?1)!1?2?3?4???(n?1)2?2?2??22111111?????1?1??2???n?21!2!(n?1)!222所以a1?a2?a3???an?1?11?()n?112?1??3?()n?2?3(n?2)．
121?2而n = 1时，易知a1 = 1 < 3成立，所以a1?a2?a3???an?3(n?N*)
(3) 假设有两个点A（p，ap），B（q，aq）(p?q，p、q?N*，且p?2，q?2)，都在函数y?k
(x?1)2kk(p?1)2(q?1)2(p?1)2(q?1)2，aq?即ap?．所以，??① ?k，?k．消去k得?(p?1)2(q?1)2(p?1)!(q?1)!(p?1)!(q?1)!n2(n?1)2n?(n?1)2n2?3n?1n2????以下考查数列{bn}，bn?的增减情况，bn?bn?1?， n!(n?1)!(n?1)!(n?1)!n!当n > 2时，n– 3n + 1 > 0，所以对于函数{bn}有b2 > b3 > b4 > ? > bn > ? 所以①式不能成立， k所以，不可能有两个点同时在函数y?图像上．
(x?1)2例17 在直角坐标系中，有一点列P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，?，Pn(an，bn)，?对每一个正整数n，点Pn在
22
给定的函数y＝log3(2x)的图像上.而在递增数列{an}中，an与an+1是关于x的方程4x－8nx＋4n－1＝0（n∈N*）的两个根．
bnc1c2cn
（Ⅰ）求点Pn的纵坐标bn的表达式；（Ⅱ）记cn＝3，n∈N*.证明＋2＋?＋n＜3；
2221122
解：（Ⅰ）解方程4x－8nx＋4n－1＝0，得x1＝n－，x2＝n－，
22
111
∵{an}是递增数列，∴an＝n－，an+1＝n－，即an＝n－( n∈N*)，
222
2