（2）当n=1时，xn?1?xn?x2?x1?1，结论成立 6当n?2时，易知0?xn?1?1,?1?xn?1?2,xn?11?
1?xn?12?(1?xn)(1?xn?1)?(1?15)(1?xn?1)?2?xn?1?
1?xn?12?xn?1?xn?xn?xn?111?? 1?xn1?xn?1(1?xn)(1?xn?1)2222n-1xn?xn?1?（）xn?1?xn?2???（）x2?x1555 12n-1?（）65?例47 已知函数F?x??3x?2?1?,?x??. 2x?1?2?（I）求F??1??2??2008??F?...?F?????;
?2009??2009??2009?（II）已知数列?an?满足a1?2,an?1?F?an?,求数列?an?的通项公式; (Ⅲ) 求证:a1a2a3...an?2n?1. 解:(?)因为F?x??F?1?x??3x?23?1?x??2??3 2x?12?1?x??1所以设S=F??1??2??2008??F?...?F?????;..........（1）
?2009??2009??2009??2008??2007??1??F?...?F????????.(2) (1)+(2)得:
200920092009??????
S=F???1???2008??2008????2??2007???1??2S??F??F?F?F?...?F?F????????????????200920092009200920092009??????????????????
=3?2008?6024,
所以S=3012
(??)由an?1?F?an?两边同减去1,得
an?1?1?13an?2a?12a?12?an?1??111 所以, ?1?n?n??2?2an?12an?1an?1?1an?1an?1an?1?所以
?1?11?2,??1为首项的等差数列, 是以2为公差以?an?1?1an?1a?1a?11?n?所以
12n1? ?2??n?1??2?2n?1?an?1?2n?12n?1an?12?????因为?2n?
所以
??2n??1??2n?1??2n?1?
22n2n?123452n2n?1???,?,...? 2n?12n12342n?12n所以a1a2a3...an??a1a2a3...an?2?22442n2n23452n2n?1>???......????......??2n?1 11332n?12n?112342n?12n例48 过点P（1，0）作曲线C:y?xk(x?(0,??),k?N?,k?1)的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1。又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2，?。依此下去，得到一系列点M1，M2?，Mn，?，设它们的横坐标a1，a2，?，an，?，构成数列为?an?。 （1）求证数列?an?是等比数列，并求其通项公式； （2）求证：an?1? （3）当k?2时,令bn?kn； k?1n,求数列?bn?的前n项和Sn。 ankk?1k解：（1）对y?x求导数，得y?kxk?1,切点是Mn(an,an?kan(x?an) )的切线方程是y?an当n=1时，切线过点P（1，0），即0当n>1时，切线过点pn?1(an?1,0)，即0所以数列?an?是首项a1??a1k?ka1k?1(1?a),得a1?k; k?1kk?1?an?kan(an?1?an),得ank?. an?1k?1kk,公比为的等比数列, k?1k?1kn的通项公式为an?(),n?N? 所以数列?an?k?1 （2）应用二项公式定理，得
kn1n1121n012n)?(1?)?Cn?Cn?Cn()???Cn()k?1k?1k?1k?1k?1
n?1?.?????(8分)k?1an?(（3）当k?2时,an?2,bn?nn123n??.数列b的前项n项和S??????， nn222232n2n11123n同乘以,得Sn?2?3?4???n?1. 两式相减，得
22222211(1?n)11121n2?n?1?1?n 所以S?2?n?2 Sn??2?3???n?n?1?2n12n2222222n?12n2n?11?2例49 设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记bn?（I）求数列?bn?的通项公式；
4?an(n?N*)。 1?an（II）记cn?b2n?b2n?1(n?N*)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn?3； 2（III）设数列?bn?的前n项和为Rn。已知正实数?满足：对任意正整数n,Rn??n恒成立，求?的最小值。
1 又 Qan?5an?1,an?1?5an?1?1 4111?an?1?an?5an?1,即an?1??an ?数列?an?成等比数列，其首项a1??，公比是q??
44414?(?)n14 ?an?(?)n ?bn?141?(?)n4解：（Ⅰ）当n?1时，a1?5a1?1,?a1??55525?16n（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn?4? ?cn?b2n?b2n?1?2n ??(?4)n?14?142n?1?1(16n?1)(16n?4)25?16n25?16n25 = ??n n2nn2(16)?3?16?4)(16)161343,?c1? 当n?1时，T1? 3324111当n?2时，Tn??25?(2?3?K?n)
316161611n?1[1?()]2416??25?16131?16
12469316??25???......................7分134821?16 又b1?3,b2?（Ⅲ）由（Ⅰ）知bn?4?5
(?4)n?1*一方面，已知Rn??n恒成立，取n为大于1的奇数时，设n?2k?1(k?N)
1111???KK?) 1232k?14?14?14?14?111111?(2?3)?KK?(2k?2k?1)]>4n?1 ?4n?5?[?14?14?14?14?14?1则Rn?b1?b2?K?b2k?1?4n?5?(???n?Rn?4n?1,即（??4）n??1对一切大于1的奇数n恒成立 ???4,否则，（??4）n??1只对满足n?1的正奇数n成立，矛盾。 4??另一方面，当??4时，对一切的正整数n都有Rn?4n 事实上，对任意的正整数k，有
b2n?1?b2n?8?5(?4)2k?1?1(?4)2k?1 ?8??552015?16k?40??8?k?8 kkk(16)?1(16)?4(16?1)(16?4)?当n为偶数时，设n?2m(m?N*)
则Rn?(b1?b2)?(b3?b4)?K?(b2m?1?b2m)<8m?4n 当n为奇数时，设n?2m?1(m?N*)
则Rn?(b1?b2)?(b3?b4)?K?(b2m?3?b2m?2)?b2m?1<8(m?1)?4?8m?4?4n ?对一切的正整数n，都有Rn?4n综上所述，正实数?的最小值为4
例50 已知数集序列{1}, {3, 5}, {7, 9,11}, {13, 15, 17, 19},??,其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合最小数是连续奇数， (Ⅰ) 求第n个集合中最小数an的表达式； （Ⅱ）求第n个集合中各数之和Sn的表达式；
?1? （Ⅲ）令f(n)=?1?3??Sn???n(n?N*) ，求证：2≤f(n)?3
解: (Ⅰ) 设第n个集合中最小数an , 则第n?1个集合中最小数an?1 , 又第n?1个集合中共有n?1个数, 且依次增加2 , ∴an?1?2(n?1)?an ,即 an?an?1?2(n?1)(n?2) ,
∴an?1?an?2?2(n?2),an?2?an?3?2(n?3),???,a2?a1?2 ,
(n?1)(1?n?1)?n2?n ,即得an?n2?n?a1 . 相加得an?a1?2?22又a1?1 , ∴an?n?n?1 . 2 （Ⅱ）由(Ⅰ)得an?n?n?1 ,从而得Sn?n(n?n?1)?n2n(n?1)?2?n3 . 2n?1??1?3* （Ⅲ）由（Ⅱ）得Sn?n , ∴f(n)??1????1?? (n?N),
?3S??n?n???1?010111212n1n010111 ∵?1???Cn()?Cn()?Cn()?????Cn()≥Cn()?Cn()?2 ,
nnnnnn?n? 又当n≥2 时, Cn()?nkn1nkn(n?1)(n?2)???(n?k?1)11111???? ≤ .
nkk!k!(k?1)kk?1k111111?1?010111212n1n?)?3??3 ∴?1???Cn()?Cn()?Cn()?????Cn()≤1?1?(1?)?(?)?????(223n?1nnnnnn?n?∴ 2≤f(n)?3 .
例51 首项为正数的数列?an?满足an?1?12(an?3),n?N?. 4（I）证明：若a1为奇数，则对一切n?2,an都是奇数； （II）若对一切n?N?都有an?1?an，求a1的取值范围.
解：（I）已知a1是奇数，假设ak?2m?1是奇数，其中m为正整数，
ak2?3?m(m?1)?1是奇数。 根据数学归纳法，对任何n?N?，an都是奇数。 则由递推关系得ak?1?4（II）（方法一）由an?1?an?1(an?1)(an?3)知，an?1?an当且仅当an?1或an?3。 41?332?3?1；若ak?3，则ak?1??3. 另一方面，若0?ak?1,则0?ak?1?44根据数学归纳法，0?a1?1,?0?an?1,?n?N?;a1?3?an?3,?n?N?. 综合所述，对一切n?N?都有an?1?an的充要条件是0?a1?1或a1?3。
a12?3?a1,得a12?4a1?3?0,于是0?a1?1或a1?3。 （方法二）由a2?4an2?3an?12?3(an?an?1)(an?an?1)an?1?an???,
444an2?3,所以所有的an均大于0，因此an?1?an与an?an?1同号。 因为a1?0,an?1?4根据数学归纳法，?n?N?，an?1?an与a2?a1同号。 因此，对一切n?N?都有an?1?an的充要条件是0?a1?1或a1?3。
例52 各项均为正数的数列{an}，a1?a,a2?b，且对满足m?n?p?q的正整数m,n,p,q都有
ap?aqam?an?.
(1?am)(1?an)(1?ap)(1?aq)（1）当a?14,b?时，求通项an; 251（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数?，使得对于每个正整数n，都有
??an??.
解：（1）由
ap?aqam?an得 ?(1?am)(1?an)(1?ap)(1?aq)142a?11?an11?an?1a1?ana2?an?1??, ?.将a1?,a2?代入化简得 an?n?1.所以
25an?1?21?an31?an?1(1?a1)(1?an)(1?a2)(1?an?1)1?an1?an13n?13n?1}为等比数列，从而?,即an?n.可验证，an?n故数列{满足题设条件.
3?13?11?an1?an3n(2) 由题设
am?ana1?ana?an的值仅与m?n有关,记为bm?n,则bn?1??.
(1?am)(1?an)(1?a1)(1?an)(1?a)(1?an)考察函数 f(x)?a?x(x?0),则在定义域上有
(1?a)(1?x)