?f(1)?f(0)?1 f(2)?f(1)?2
f(3)?f(2)?3?? f 将这n个式子相加，得 ()n?f(n??1)n f(nf)?(01)??2?3???n?n(n?1) 2?f(0)?0
n(n?1)
?f(n)?2n(n?1) (n?N*)2 （II）S为一直角梯形（n?时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为1()n?S(n?1) ?an?，高为1 fn(?1)，fn()?an(n?1)n2f(n?1)?f(n)an?1n1n(n?1) ? ?[ S(n)?S(n?1)??1??]?222222 （III）设满足条件的正整数N存在，则
n(n?1)n2n ?1005???1005?n?2010
222 又M?{2000，2002，?，2008，2010，2012，?，2998}
?均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。 N?2010，2012，??，2998 设共有m个满足条件的正整数N，则2，解得m ?495010?2(m?1)?2998 ?中满足条件的正整数N存在，共有495个，N M2010min? （IV）设bn?
1211，即b ??2(?)nann(n?1)nn?1 则b1?b2???bn?2[(1?11111111)?(?)?(?)???(?)]?2(1?) 22334nn?1n?11显然，其极限存在，并且l im(bb????b)?lim[2?]?212nn??n??n?1的定义域为R，且；
例27 函数 （Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下记
上的最小值为，试求f(x)的解析式；
试比较
与
的大小并证明你的结论．
解：（Ⅰ）∵f(x)定义域为R，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在[0，1]上为增函数，
（Ⅲ）
例28 已知函数f(x)?kx?m,当x?[a1,b1]时，f(x)的值域为[a2,b2]，当x?[a2,b2]
时，f(x)的值域为[a3,b3]，依次类推，一般地，当x?[an?1,bn?1]时，f(x)的值域为
[an,bn]，其中k、m为常数，且a1?0,b1?1.
（1）若k=1，求数列{an},{bn}的通项公式；
（2）项m=2，问是否存在常数k?0，使得数列{bn}满足limbn?4?若存在，求k的值；若不存在，请说
n??明理由；
（3）若k?0，设数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，求[来源:学&科&网] (T1?T2???T2010)?(S1?S2???S2010)。
解：（1）因为f(x)?x?m,当x?[an?1,bn?1]时,f(x)为单调增函数, 所以其值域为[an?1?m,bn?1?m]
于是an?an?1?m,bn?bn?1?m(n?N*,n?2)
又a1?0,b1?1,所以an?(n?1)m,bn?1?(n?1)m.
（2）因为f(x)?x?mf(x)?kx?m(k?0),当x?[an?1,bn?1]时,f(x)为单调增函数
所以f(x)的值域为[kan?1?m,kbn?1?m],因m?2,则bn?kbn?1?2(n?2)??8分 法一：假设存在常数k?0，使得数列{bn}满足limbn?4,则limbn?klimbn?1?2，得
n??n??n??4?4k?2,则k?1符合。 2
法二：假设存在常数k＞0，使得数列{bn}满足limbn?4.
n??当k=1不符合。??9分
当k?1时,bn?kbn?1?2(n?2)?bn?则bn?(1?22?k(bn?1?)(n?2)，[来源:Z+xx+k.Com] k?1k?1
22)kn?1?, k?1k?121?4,得k?符合. 当0?k?1时,limbn?n??1?k2 （3）因为k?0,当x?[an?1,bn?1]时,f(x)为单调减函数,所以f(x)的值域为[kbn?1?m,kan?1?m]
于是an?kbn?1?m,bn?kan?1?m(n?N*,n?2)则bn?an??k(bn?1?an?1) 又b1?a1?1
?i,(k??1)?则有Ti?Si??1?(?k)i
,(k?0,k??1)??1?k[来xxk.Com]进而有
,(k??1)?2021055?(T1?T2???T2010)?(S1?S2???S2010)??2010?2011 k?k2011,(k?0,k??1)2?(1?k)?例29 已知函数f(x)?x?11x?，f?(x)为函数f(x)的导函数． 24?（Ⅰ）若数列{an}满足：a1?1，an?1?f?(an)?f?(n)（n?N），求数列{an}的通项an；
?（Ⅱ）若数列{bn}满足：b1?b，bn?1?2f(bn)（n?N）．
1ⅰ.当b?时，数列{bn}是否为等差数列？若是，请求出数列{bn}的通项bn；若不是，请说明理由；
2n112ⅱ.当?b?1时， 求证：??．
22b?1i?1bi2
?f?(x)?2x?解：（Ⅰ）
111， ?an?1?(2an?)?(2n?)?2an?2n?1，即an?1?2 (n1)?12?(?2a1)n?n?．222n?1 ?数列{an?2n?1}是首项为4，公比为2的等比数列．即an?2?2n? ?a1?1，?an?2n?1?4?2n?1，1．
（Ⅱ）（ⅰ）?bn?1?2f(bn)?2bn?bn?假设bk?1，则bk?1211211，?bn?1?bn?2(bn?)．?当b1?时，b2?． 22221?bk．由数学归纳法，得出数列{bn}为常数数列，是等差数列，其通项为bn?．
22112， ?bn?1?bn?2(bn?)． 221111?当?b1?1时，b2?b1?．假设bk?，则 bk?1?bk?．
2222（ⅱ）?bn?1?2bn?bn?2由数学归纳法，得出数列bn?111111??(n?1,2,3,?)． 又?bn?1??2bn(bn?)，?， 1122bn?1?2bn?2bn2nn11111112bn2bn??b????(?)即． ?n?1?2211112bnbn?2bn?1?2bi?1?2bnSN?SnbnSN?Sni?1bii?1bi?2fk'?1(x)例30 已知f0(x)?x,fk(x)?,其中k?n(n,k?N?),
fk?1(1)n01kn设F(x)?Cnf0(x2)?Cnf1(x2)?...?Cnfk(x2)?...?Cnfn(x2),x???1,1?.
(I) 写出fk(1);(II) 证明:对任意的x1,x2???1,1?,恒有F(x1)?F(x2)?2【解析】(I)由已知推得fk(x)?(n?k?1)xn?k,从而有fk(1)?n?k?1
n?1(n?2)?n?1.
12(n?1)22(n?2)k2(n?k)n?12(II) 证法1:当?1?x?1时F(x)?x2n?nCnx?(n?1)Cnx...?(n?k?1)Cnx?...?2Cnx?1
当x>0时, F?(x)?0,所以F(x)在[0,1]上为增函数 因函数F(x)为偶函数所以F(x)在[-1,0]上为减函数 所以对任意的x1,x2???1,1?F(x1)?F(x2)?F(1)?F(0)
012kn?1F(1)?F(0)?Cn?nCn?(n?1)Cn...?(n?k?1)Cn?...?2Cn?nCn?1n?(n?1)Cn?2n...?(n?k?1)Cn?kn?...?2C?C1n0n
n?kn?kn?k?(n?k?1)Cn?(n?k)Cn?Cn?nCkn?1?C(k?1,2,3?n?1)kn
12k?112n?10F(1)?F(0)?n(Cn?1?Cn?1...?Cn?1)?(Cn?Cn...?Cn)?Cn?n(2n?1?1)?2n?1?2n?1(n?2)?n?1因此结论成立.
12(n?1)22(n?2)k2(n?k)n?12证法2: 当?1?x?1时, F(x)?x2n?nCnx?(n?1)Cnx...?(n?k?1)Cnx?...?2Cnx?1
当x>0时, F?(x)?0,所以F(x)在[0,1]上为增函数 因函数F(x)为偶函数所以F(x)在[-1,0]上为减函数 所以对任意的x1,x2???1,1?F(x1)?F(x2)?F(1)?F(0)
012kn?1 F(1)?F(0)?Cn?nCn?(n?1)Cn...?(n?k?1)Cn?...?2Cn12k?1n?10又因F(1)?F(0)?2Cn ?3Cn?...?kCn?...?nCn?Cn12k?1n?10所以2[F(1)?F(0)]?(n?2)[Cn ?Cn?...?Cn?...?Cn]?2CnF(1)?F(0)?n?212k?1n?10[Cn?Cn?...?Cn?...?Cn]?Cn2n?2n?(2?2)?1?2n?1(n?2)?n?12因此结论成立.
证法3: 当?1?x?1时,
12(n?1)22(n?2)k2(n?k)n?12F(x)?x2n?nCnx?(n?1)Cnx...?(n?k?1)Cnx?...?2Cnx?1
当x>0时, F?(x)?0,所以F(x)在[0,1]上为增函数 因函数F(x)为偶函数所以F(x)在[-1,0]上为减函数 所以对任意的x1,x2???1,1?F(x1)?F(x2)?F(1)?F(0)
012kn?1 F(1)?F(0)(?n)C...k?1?2Cnn?Cnn?nCn1?n1?12nn?2?(n?kn?k)Cn?...n?1x[(1?x)?x]?x[Cnx?Cnx?...Cnx?..?Cnx?1]由
?Cx?Cx1nn2nn?1?...Cxknn?k?1?..?Cn?12nx?x
对上式两边求导得
1n?12n?2kn?kn?1(1?x)n?xn?nx(1?x)n?1?nxn?nCnx?(n?1)Cnx?...(n?k?1)Cnx?..?2Cnx?1F(x)?(1?x2)n?nx2(1?x2)n?1?nx2n ?F(1)?F(0)?2n?n2n?1?n?1?(n?2)2n?1?n?1
因此结论成立.
五、数列与不等式交汇的综合题
12例31 已知数列{an}满足.an?an?1?2an?1(n?N*)
n(1)若数列{an}是以常数a1首项,公差也为a1的等差数列,求a1的值; (2)若a0?(3)若a0?1111,求证：??2对任意n?N?都成立； 2an?1ann1n?1?an?n对任意n?N?都成立. ,求证：
2n?21n?122122?解 (1)由an?an?1?2an?1(n?N)得：a1?2?a1?(n?2)a1?即a1?(2)a1，求得a1?0
nnn（2）由an?an?1?0知an?an?1?1111aa??，两边同除以，得 aann?1nn?1n2an?1ann2（3）11111111111111???? ??(?)?(?)???(?)?1?2?2???2?1?23n1?22?3(n?1)na0ana0a1a1a2an?1an1111111111?1?(?)?(?)?(?)???(?)?2?，将a0?代入，得an?n； ㈠
n2233445(n?1)n12n?1n2an ?an?1?n?1 ? an?an?1?2an?1?an?1?2an?1 an?1?2nnn?n?11n211111an?an?1?2an?1?2an ??2??nn?n?1an?1ann?n?1nn?111111111??(?)?(?)???(?) a1ana1a2a2a3an?1an311111111?(?)?(?)???(?) ?? 而a1?，
42n?12334nn?1?n?1151n?2??? ?an? ㈡ 由㈠㈡知，命题成立.
n?2an6n?1n?1例32 设数列{an}的前n项和为Sn，a1?1,an?Sn?2(n?1)。 n（1）求证：数列{an}为等差数列，并分别求出an、Sn的表达式；
111}的前n项和为Tn，求证：?Tn?；
54anan?1SSS2（3）是否存在自然数n,使得S1?2?3???n?(n?1)?2009？若存在，求出n的值；若不存在,
23n（2）设数列{请说明理由。