1nn?2??2?. 2n?12n2n1n(n?2) 要证明当n?6时，Sn?2?成立，只需证明当n?6时，?1成立. nn26?(6?2)483 证法一(1)当n = 6时，???1成立. 62644k(k?2) (2)假设当n?k(k?6)时不等式成立，即?1.
2k 所以Sn?2? 则当n=k+1时，
(k?1)(k?3)k(k?2)(k?1)(k?3)(k?1)(k?3)????1.
2k?12k2k(k?2)(k?2)?2k 由(1)、(2)所述，当n≥6时，
n(n?1)1.即当n≥6时，?1S?2?. n22n(n?1)(n?3)n(n?2)3?n2n(n?2)??n?1?0. 证法二 令cn?(n?6)，则cn?1?cn?n?12222226?83??1. 644n(n?2)1于是当n?6时，综上所述，当时，?1.S?2?.n?6n22n
例61 设m个不全相等的正数a1,a2,?,am(m?7)依次围成一个圆圈．
（Ⅰ）若m?2009，且a1,a2,?,a1005是公差为d的等差数列，而a1,a2009,a2008,?,a1006是公比为q?d的等比数列；数列a1,a2,?,am的前n项和Sn(n?m)满足：S3?15,S2009?S2007?12a1，求通项an(n?m)； 解：因a1,a2009,a2008,???,a1006是公比为d的等比数列，从而a2000?a1d,a2008?a1d2 由
d?3或d??4（舍去）。因此d?3 S2009?S2008?12a1得a2008?a2009?12a1，故解得
又 S3?3a1?3d?15。解得a1?2从而当n?1005时，an?a1?(n?1)d?2?3(n?1)?3n?1 当1006?n?2009时，由a1,a2009,a2008,???,a1006是公比为d的等比数列得
所以当n?6时，cn?1?cn.因此当n?6时，cn?c6?an?a1d2009?(n?1)?a1d2010?n?3n?1,n?1005 (1006?n?2009)因此an??2009?n,1006?n?2009?2?3八、信息迁移题 例62 设同时满足条件：①叫“特界” 数列.
bn?bn?2≤bn?1(n?N*)；②bn≤M(n?N*,M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}2（Ⅰ）若数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a3?4,S3?18，求Sn； （Ⅱ）判断（Ⅰ）中的数列{Sn}是否为“特界” 数列，并说明理由. .解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
则a1?2d?4,3a1?3d?18,解得a1?8,d??2，Sn?na1?（Ⅱ）由得
Sn?Sn?22n(n?1)d??n2?9n 2(S?Sn?1)?(Sn?1?Sn)an?2?an?1d?Sn?1?n?2????1?0
222Sn?Sn?2?Sn?1，故数列{Sn}适合条件① 292812(n?N*)，则当n?4或5时，Sn有最大值20 而Sn??n?9n??(n?)?24即Sn≤20，故数列{Sn}适合条件②. 综上，故数列{Sn}是“特界”数列。
例63 已知数集A??a1,a2,?an??1?a1?a2??an,n?2?具有性质P；对任意的
i,j?1?i?j?n?，aiaj与
ajai两数中至少有一个属于A.
（Ⅰ）分别判断数集?1,3,4?与?1,2,3,6?是否具有性质P，并说明理由； （Ⅱ）证明：a1?1，且
a1?a2???an?an； ?1?1a1?1?a2???an（Ⅲ）证明：当n?5时，a1,a2,a3,a4,a5成等比数列.
4均不属于数集?1,3,4?，∴该数集不具有性质P. 3661236 由于1?2,1?3,1?6,2?3,,,,,,都属于数集?1,2,3,6?，
231236解：（Ⅰ）由于3?4与
∴该数集具有性质P.（Ⅱ）∵A??a1,a2,?an?具有性质P，∴anan与
an中至少有一个属于A， an由于1?a1?a2???an，∴anan?an，故anan?A. 从而1?an?A，∴a1?1. an∵1?a1?a2???an， ∴akan?an，故akan?A?k?2,3,?,n?. 由A具有性质P可知
anaaaa?A?k?1,2,3,?,n?.又∵n?n???n?n， akanan?1a2a1∴
anaaaaaaa?1,n?a2,?n?an?1,n?an，从而n?n???n?n?a1?a2???an?1?an， anan?1a2a1anan?1a2a1a1?a2???an?an. ?1?1?1a1?a2???ana5a2?a2,5?a3，即a5?a2a4?a3， a4a3a4?A. a3∴
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n?5时，有
∵1?a1?a2???a5，∴a3a4?a2a4?a5，∴a3a4?A，由A具有性质P可知
a2a4?a3，得
2a3a4aaa??A，且1?3?a2，∴4?3?a2， a2a3a2a3a2∴
a5a4a3a2????a2，即a1,a2,a3,a4,a5是首项为1，公比为a2成等比数列..k.s.5. a4a3a2a1例64 给定项数为m(m?N*,m?3)的数列{an}，其中ai?{0,1}(i?1,2,?,m).
若存在一个正整数k(2?k?m?1)，若数列{an}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{an}是“k阶可重复数列”，例如数列{an}0,1,1,0,1,1,0.因为a1,a2,a3,a4与a4,a5,a6,a7按次序对应相等，所以数列{an}是“4阶可重复数列”. （Ⅰ）分别判断下列数列
①{bn}:0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0. ②{cn}:1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1. 是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
（Ⅱ）若数为m的数列{an}一定是 “3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；
（III）假设数列{an}不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5解：（Ⅰ）记数列①为?bn?，因为b2,b3,b4,b5,b6与b6,b7,b8,b9,b10按次序对应相等，所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0,0,1,1,0;
记数列②为?cn?，因为c1,c2,c3,c4,c5、c2,c3,c4,c5,c6、c3,c4,c5,c6,c7、c4,c5,c6,c7,c8、 c5,c6,c7,c8,c9、c6,c7,c8,c9,c10没有完全相同的，所以?cn?不是“5阶可重复数列”.
（Ⅱ）因为数列{an}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23?8种不同的情形.若m＝11，则数列{an}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{an}一定是“3阶可重复数列”；若m＝10，数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”；则3?m?10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{an}.所以，要使数列{an}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11.
（III）由于数列?an?在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列?an?的末项am后再添加一项0或1，则存在i?j，使得ai,ai?1,ai?2,ai?3,ai?4与am?3,am?2,am?1,am,0按次序对应相等，或
阶可重复数列”，且a4?1，求数列{an}的最后一项am的值.
aj,aj?1,aj?2,aj?3,aj?4与am?3,am?2,am?1,am,1按次序对应相等，如果a1,a2,a3,a4与am?3,am?2,am?1,am不能按次序对应相等，那么必有2?i,j?m?4，i?j，使得ai,ai?1,ai?2,ai?3、aj,aj?1,aj?2,aj?3与am?3,am?2,am?1,am按次序对应相等.此时考虑ai?1,aj?1和am?4，其中必有两个相同，这就导致数列?an?中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列?an?是“5阶可重复数列”，这和题设中数列?an?不是“5阶可重复数列”矛盾！所以a1,a2,a3,a4与am?3,am?2,am?1,am按次序对应相等，从而am?a4?1.
例65 数列{an}和数列{bn}(n?N?)由下列条件确定：
①a1?0,b1?0；
ak与bk满足如下条件：②当k?2时，当
时，ak?ak?1?bk?1a?bk?1a?b?0时，?0ak?ak?1,bk?k?1k?1；当k?1222ak?1?bk?1,bk?bk?1。 2解答下列问题：
（Ⅰ）证明数列{ak?bk}是等比数列；（Ⅱ）求数列{n(bn?an)}的前n项和为Sn； （Ⅲ）n(n?2)是满足b1?b2???bn的最大整数时，用a1,b1表示n的满足的条件。
ak?1?bk?1a?b1?0时，bk?ak?k?1k?1?ak?1?(bk?1?ak?1) 222a?bk?1a?b1?0时，bk?ak?bk?1?k?1k?1?(bk?1?ak?1) 当k?12221所以不论哪种情况，都有bk?ak?(bk?1?ak?1)，又显然b1?a1?0，故数列{ak?bk}是等比数列
21n?1n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn?an?(b1?a1)()，故n(bn?an)?(b1?a1)?n?1
2223n?1n1123n?1nSn?(b1?a1)(1??3???n?2?n?1)所以，Sn?(b1?a1)(?2?3???n?1?n)
22222222221111n12n所以，Sn?(b1?a1)(1??2???n?1?n)， Sn?(b1?a1)[4(1?n)?n]
2222222（Ⅲ）当b1?b2???bn(n?2)时，bn?bn?1(2?k?n)
解：（Ⅰ）当
ak?1?bk?1a?ba?b?0不成立，故k?1k?1?0从而对于2?k?n，有ak?ak?1,bk?k?1k?1，于是 2221an?an?1???a1，故bn?a1?(b1?a1)?n?1
2a?bn111a?ba?b?{a1?[a1?(b1?a1)?n?1]}?a1?(b1?a1)?n，若nn?0，则bn?1?nn 若n222222由②知
111bn?1?bn?{a1?(b1?a1)?n}?{a1?(b1?a1)?n?1}??(b1?a1)?n?0
222所以bn?1?bn，这与n是满足b1?b2???bn(n?2)的最大整数矛盾。
a?bna?bnb?ab?a1?0的最小整数，因此n是满足n而n?0?a1?(b1?a1)?n?0?11?2n?log211?n 222?a1a1b?a1?n最小整数。 因而，n是满足log21a1例66 对于数列{un},若存在常数M＞0,对任意的n?N，恒有
*un?1?un?un?un?1???u2?u1?M, 则称数列{un}为B?数列.
1（Ⅰ）首项为1，公比为?的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
2（Ⅱ）设Sn是数列{xn}的前n项和.给出下列两组判断： A组：①数列{xn}是B-数列, ②数列{xn}不是B-数列; B组：③数列{Sn}是B-数列, ④数列{Sn}不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论；
(Ⅲ)若数列{an}是B-数列，证明：数列{an}也是B-数列。 解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为{an},则an?(?)212n?1.于是
1131an?an?1?(?)n?1?(?)n?2??()n?2,n?2.
2222|an?1?an|?|an?an?1|???|a2?a1|
=
1n?3?1121n-1??3?1?（）??3. =??1??（）???（）??22?222???1的等比数列是B-数列 . 2（Ⅱ）命题1：若数列{xn}是B-数列，则数列{Sn}是B-数列.此命题为假命题.
*事实上设xn=1，n?N，易知数列{xn}是B-数列，但Sn=n， |Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|???|S2?S1|?n. 由n的任意性知，数列{Sn}不是B-数列。
命题2：若数列{Sn}是B-数列，则数列{xn}不是B-数列。此命题为真命题。
*事实上，因为数列{Sn}是B-数列，所以存在正数M，对任意的n?N，有
|Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|???|S2?S1|?M, 即|xn?1|?|xn|???|x2|?M.
于是xn?1?xn?xn?xn?1???x2?x1?xn?1?2xn?2xn?1???2x2?x1?2M?x1, 所以数列{xn}是B-数列。
? (Ⅲ)若数列?an?是B-数列，则存在正数M，对任意的n?N,有an?1?an?an?an?1???a2?a1?M. 因为an?an?an?1?an?1?an?2???a2?a1?a1?an?an?1?an?1?an?2???a2?a1?a1?M?a1.
22记K?M?a1，则有an?1?an?(an?1?an)(an?1?an)?(an?1?an)an?1?an?2Kan?1?an.
2222222因此an?1?an?an?an?1?...?a2?a1?2KM.故数列?an?是B-数列.
所以首项为1，公比为?