又易知Tn单调递增，故Tn?T1?111，得?Tn? 554(3)由Sn?nan?2n(n?1)得
Sn?2n?1 nS1?SS2S3????n?(n?1)2?1?3?5???(2n?1)?(n?1)2=2n?1 23n由2n?1?2009，得n=1005,即存在满足条件的自然数n=1005.
22Sn1例33 已知数列?an?中，a1?，当n?2时，其前n项和Sn满足an?，
2Sn?13（1） 求Sn的表达式及liman的值；
n??S2n（2） 求数列?an?的通项公式； （3） 设bn?1(2n?1)3?1(2n?1)3，求证：当n?N且n?2时，an?bn。
22Sn11解：（1）an?Sn?Sn?1??Sn?1?Sn?2SnSn?1???2(n?2)
2Sn?1SnSn?1所以??1?1an22S?是等差数列。则 lim?lim???2。 ?n2n??n??2n?1Sn2Sn?12limSn?1?Sn?n???1?n?1??11?2?3??（2）当n?2时，an?Sn?Sn?1?，综上，an??。 2n?12n?14n2?1?2?n?2???1?4n2（3）令a?111，当n?2时，有0?b?a? ,b?32n?12n?1等价于求证
1?2n?1231?2n?1?3?1?2n?11?2n?1?3。当n?2时，0?11?, 2n?13令f?x??x?x,0?x?13313, f??x??2x?3x2?2x(1?x)?2x(1??)?2x(1?)?0，
22233则f?x?在(0,
111111]递增。 又0?， 所以g(??)?g(),即an?bn
3332n?12n?132n?12n?1例34 已知数列?an?各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n?N*都有(1?p)Sn?p?pan（p为大于1的常
2n1?C1na1?Cna2???Cnan数），记f(n)?．
2nSnp?1f(n)的大小（n?N*）； 2p2n?1p?1??p?1??*?1??(3) 求证：(2n?1)f(n)剟f(1)?f(2)???f(2n?1)??，（n?N）． p?1???2p???(1) 求an； (2) 试比较f(n?1)与解：(1) ∵(1?p)Sn?p?pan，
①∴(1?p)Sn?1?p?pan?1．
(1?p)an?1??pan?1?pan，即an?1② ②－①，得
?pan． 在①中令n?1，可得a1?p．
∴?an?是首项为a1?p，公比为p的等比数列，an?pn．
p(1?pn)p(pn?1)?(2) 由(1)可得Sn?．
1?pp?12n122nnnn1?C1na1?Cna2???Cnan?1?pCn?pCn???Cnp?(1?p)?(p?1)．
2n1?C1p?1(p?1)nna1?Cna2???Cnan??∴f(n)?，
p2n(pn?1)2nSn
p?1(p?1)n?1p?1(p?1)n?1p?1??f(n?1)?．而，且p?1， f(n)?p2n?1(pn?1?1)p2n?1(pn?1?p)2p∴pn?1?1?pn?1?p?0，p?1?0． ∴f(n?1)?
p?1f(n)，（n?N*）． 2p
2例35 数列?an?：满足a1?2,an?1?an?6an?6(n?N?).
(Ⅰ) 设Cn?log5(an?3)，求证?Cn?是等比数列； (Ⅱ) 求数列?an?的通项公式;
（Ⅲ）设bn?解：(Ⅰ)由
1151?2,数列?bn?的前n项和为Tn,求证: ??Tn??. an?6an?6an16422an?1?an?6an?6,得an?1?3?(an?3).
?log5(an?1?3)?2log5(an?3)，即 Cn?1?2Cn， ??Cn?是以２为公比的等比数列
(Ⅱ) 又C1?log55?1 ?Cn?2n?1即 log5(an?3)?2n?1，?an?3?52. 故an?52
n?1n?1?3.
（Ⅲ）?bn?11111111?2??,?Tn?????2n. an?6an?6anan?6an?1?6a1?6an?1?645?9又0?152?9n?1151?,???T??.n52?916164
2例36 给定正整数n和正数b，对于满足条件a1?an?1?b的所有无穷等差数列?an?，试求
y?an?1?an?2???a2n?1的最大值，并求出y取最大值时?an?的首项和公差．
解：设?an?公差为d，则an?1?a1?nd,nd?an?1?a1．
y?an?1?an?2???a2n?1?an?1?(an?1?d)???(an?1?nd) ?(n?1)an?1?(1?2???n)d?(n?1)an?1?2a?a1n?1n(n?1)nd(3an?1?a1)． d?(n?1)(an?1?)?(n?1)(an?1?n?1)?22222又a1?an?1?b,??a1??b?an?1．
9?4b9?4b3?，当且仅当an?1?时，等号成立． 44294b?3n?1(n?1)(9?4b)(3an?1?a1)?∴y?． 当数列?an?首项a1?b?，公差d??时，
44n28(n?1)(9?4b)(n?1)(9?4b)y?，∴y的最大值为．
88∴3an?1?a1??an?1?3an?1?b??(an?1?)?2232例37 已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an－1（n≥2，n∈N*），若数列{an?1??an}是等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：当k为奇数时，1?1?4；
akak?13k?1 （Ⅲ）求证：1?1???1?1(n?N*). a1a2an2
得?=2或?=－3
n?1当?=2时，可得{an?1?2an}为首项是 a2?2a1?15，公比为3的等比数列，则an?1?2an?15?3 ①
n?1当?=－3时，{an?1?3an}为首项是a2?3a1??10，公比为－2的等比数列，∴an?1?3an??10(?2) ②
①－②得， an?3?(?2). （注：也可由①利用待定系数或同除2得通项公式）
n+1
nn（Ⅱ）当k为奇数时，
114114 ??k?1?k??kk?1k?1k?1akak?133?23?23k34k?[8?7?()k]?7?6?8?41142?k?1??0?? ∴ kkk?1k?1k?1kkk?1k?1k?1akak?133?(3?2)(3?2)3(3?2)(3?2)k（Ⅲ）由（Ⅱ）知k为奇数时，
11411??k?1?k?k?1 akak?1333①当n为偶数时，
111111111??????2???n?(1?n)? a1a2an3322331111111 ??????????a1a2ana1a2anan?1②当n为奇数时，
=
111111?2???n?1?(1?n?1)? 332233
例 38 如图，把正?ABC分成有限个全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等．设点A为第一行，．．．，BC为第n
?，第i行中第j个数为aij(1?j?i)．若a11?1,a21?行，记点A上的数为a11，（1）求a31、a32、a33；
（2）试求第n行中第m个数anm的表达式（用n、m表示）；
（3）记Sn?an1?an2???anm(n?N*)，求证：
11,a22?． 241114n?1n??????(n?N*)
S1S2Sn3.解：（1）a31?（2）anm111,a32?,a33? 4816n?m?2?1?????2?
（3）Sn?12n?2?1122n?2?1
当n?2时，Sn?2n?222n?2?12n?2?1，所以当n?2时，
1111?1，则?????n SnS1S2Sn1?又Sn112n?2?122n?24n?11114n?1n?1?n?4 所以? ????2?1S1S2Sn3an?11bn?an·lgan. ?1?.数列{bn}中，例39 已知a?0，且a?1，数列{an}的前n项和为Sn，它满足条件
Sna（1）求数列{bn}的前n项和Tn；
（2）若对一切n?N都有bn?bn?1，求a的取值范围.
*a(an?1)a(a1?1)an?11?a. 解：（1）? 当n?1时，a1?S1??1? ，∴Sn?a?1a?1Snaa(an?1)a(an?1?1)n*当n≥2时，an?Sn?Sn?1=??an，∴ an?a(n?N)
a?1a?1此时bn?an·lgan?an·lga=n·alga，
∴Tn?b1?b2???bn=lga(a?2a?3a???+na). 设un?a?2a2?3a3???+na， ∴(1?a)un?a?a?a???a?na23nn?1nn23nna(an?1)nan?1a(an?1)n?1??na， ∴un??.
a?1a?1(a?1)2nan?1a(an?1)∴Tn?lga·[?]. 2a?1(a?1)（2）由bn?bn?1?nanlga?(n?1)an?1lga可得 ①当a?1时，由lga?0，可得a?n n?1?nn*?1(n?N*),a?1, ∴a?对一切n?N都成立，∴此时的解为a?1. n?1n?1n②当0?a?1时，由lga?0 可得n?(n?1)a,a?,
n?1n1n1*?≥(n?N*),0?a?1,∴0?a?对一切n?N都成立，∴此时的解为0?a?. n?12n?121*由①，②可知 对一切n?N，都有bn?bn?1的a的取值范围是0?a?或a?1.
2a1?6，例40 已知正项数列?an?中，点Anan,an?1在抛物线y2?x?1上；数列?bn?中，点Bn?n,bn?在过点?0,1?，
??以方向向量为?1,2?的直线上。
（Ⅰ）求数列?an?,?bn?的通项公式；
??an, ?n为奇数?（Ⅱ）若f?n???，问是否存在k?N，使f?k?27??4f?k?成立，若存在，求出k值；若
??bn, ?n为偶数?不存在，说明理由；
（Ⅲ）对任意正整数n，不等式
an?1?1??1??1?1?1??1????????b1??b2??bn??ann?2?an?0成立，求正数a的取值范围。
解：（Ⅰ）将点Anan,an?1代入y2?x?1中得
??