又因为Pn(an，bn)在函数y＝log3(2x)的图像上，所以bn＝log3(2n－1).
bnc1c2cn132n－1
（Ⅱ）因为cn＝3，n∈N*，所以cn＝2n－1设Dn＝＋2＋?＋n，即Dn＝＋2＋?＋n， ①
2222221132n－32n－1111112n－1
所以Dn＝2＋3＋?＋n＋n+1， ② 由①－②得Dn＝＋＋2＋?＋n?1－n+1，
222222222221n1
1－()?
21112n－12n－112n－1
则所以Dn＝1＋1＋＋2＋?n?2－n＝1＋－n＝3－n?2－n＜3，
22221222
1－2例18 已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、?、Bn(n,yn)（n∈N）顺次为一次函数y?141图像上的点，点列A1(x1,0)、x?12A2(x2,0)、?、An(xn,0)（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、
An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形。
⑴求数列{yn}的通项公式，并证明{yn}是等差数列； ⑵证明xn+2-xn为常数，并求出数列{xn}的通项公式；
⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由。
11解：（1）yn?4(n?N),∵yn+1-yn=4,∴{yn}为等差数列 n?121?xn?xn?1?n??2 （2）因为?AnBnAn?1与?An?1Bn?1An?2为等腰三角形.所以?，两式相减得 xn?2?xn?2。
x?x?n?1n?2?n?1??2n?a?1 (当n为奇数)
∴x1,x3,x5,?,x2n-1及x2,x4,x6 ，?，x2n都是公差为2的等差数列，∴x???n?n-a (当n为偶数)11?12?12 （3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2yBn=2(n)?xn+1-xn=2(n) 当n为奇数时， 44111?n?12xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a). ?2(1-a)=2(n) ?a=12(n为奇数，0＜a＜1) (*) 44 取n=1，得a=3，取n=3，得a=6，若n≥5，则(*)无解； 当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.
11?12?12 ∴2a=2(n)?a=n(n为偶数，0＜a＜1) (*?)，取n=2，得a=12,若n≥4，则(*?)无解. 44217 综上可知，存在直角三形，此时a的值为3、6、12.
三、数列与向量交汇的综合题 例19
217?an?已知Sn为数列的前n项和，a=?Sn,1?, b=?1,2an?2?an?为等差数列； n??2????n?1?,a?b
??（1）求证：?(2) 若bn??n?2011an,问是否存在n0, 对于任意k（k?N?），不等式bk?bn0成立.
n?1?解（1）?a?b ??Sn?2an?2n?1?0?Sn?1?2an?1?2
n?2?0
?an?1?2an?2n?1?（2）
an?1an?an???1??n?为等差数列 2n?12n?2?an??2?(n?1)??(n?1) 2n?bn??2011?n?2n令bn?1?bn?2010?n?2n?1??2011?n?2n
n?2009bn的最大值为b2010?b2009?n0?2009或2010例20 在直角坐标平面中，已知点P,2),P2(2,22),P3(3,23),?Pn(n,2n)，其中n是正整数，对平面上任一点1(1A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，??，An为An－1关于点Pn的对称点.
（1）求向量A0A2的坐标；
（2）对任意偶数n，用n表示向量A0An的坐标. （1）设An(xn,yn),?An与An?1关于点Pn(n,2n)对称
?xn?xn?1?2n?x1?2?x0?x2?4?x1?2?x0 故A0A2?(x2?x0,y2?y0)?(2,4) ???,??n?1y?4?yy?8?y?4?yy?y?20?210?1n?1?n （2）???xn?xn?1?2n?xn?1?2(n?1)?xn?2?xn?1?xn?1?xn?1?2
?xn?1?xn?2(n?1)n?1?An?1An?1?(xn?1?xn?1,yn?1?yn?1)?(2,2n?1) 同理可得：yn?1?yn?1?2n??2n?22???n2(1?4)2?4? 24n故A0An?A0A2?A2A4???An?2An ?(2,2)?(2,2)???(2,2)??2?,?n,????1?4??3???2??，a2?3，前n项和为Sn，且Sn?1、Sn、Sn?1（n ≥2）分别是直线l上的点例21 已知数列{an}的首项a1?1????2a?1????nBC，设b1?1，bn?1?log2(an?1)?bn． A、B、C的横坐标，AB?ann4⑴ 判断数列{an?1}是否为等比数列，并证明你的结论；⑵ 设cn?，证明：?Ck?1．
anan?1k?1bn?1?1n?1解：⑴由题意得
Sn?1?Sn2an?1??an?1?2an?1 ?an?1?1?2(an?1)（n≥2），又∵a1?1，a2?3
Sn?Sn?1an?数列{an?1}是以a1?1?2为首项，以2为公比的等比数列。[则an?1?2n?an?2n?1（n?N*）]
⑵由an?2n?1及bn?1?log2(an?1)?bn得bn?1?bn?n
42nn(n?1)11?bn?1?， 则cn? ?n??n?1nn?1anan?1(2?1)(2?1)2?12?121??11??11?1??1?1C?????????????2??3??n? ?k234n?1?2?12?1??2?12?1??2?12?1??2?12?1?k?1nbn?1?1n?1?1?12n?1?1?1
四、数列与函数交汇的综合题
(x?1)4?(x?1)4例22 已知函数f(x)?（x?0）。
(x?1)4?(x?1)4（Ⅰ）若f(x)?x且x?R，则称x为f(x)的实不动点，求f(x)的实不动点； （II）在数列{an}中，a1?2，an?1?f(an)（n?N?），求数列{an}的通项公式。
x4?6x2?1解：（Ⅰ）由f(x)?及f(x)?x得
4x3?4xx4?6x2?114222?x?3x?2x?1?0?x?1或（舍去）， x??4x3?4x3所以x?1或?1，即f(x)的实不动点为x?1或x??1；
(an?1)4?(an?1)4an?1?1(an?1)4?an?1?an?1?1an?1???ln?4ln（II）由条件得an?1?，从而有， ??(an?1)4?(an?1)4an?1?1(an?1)4?an?1?an?1?1an?1由此及ln4?a?1?a1?1?ln3?0知：数列?lnn?是首项为ln3，公比为4的等比数列，故有 a1?1?an?1?n?1an?1n?1an?14n?134?1（n?N?）。 ln?4ln3??3?an?4n?1an?1an?13?1例23 二次函数f(x)符合f(x)?0,且f(x)?2x2恒成立，f(1)?1 （1）求f(0)并求f(x)的解析式；
（2）若an?f(1)f(2)f(n)1????,bn?,求数列?bn?前n项和Sn.并求limSn.
n??12nan （3）若cn?1?f(cn),且c1?2,记Tn?c1?c2?...?cn,求符合Tn?2008最小自然数n． .解：（1）f(0)?0 又：f(0)?2?02?0 ?f(0)?0
f(x)?ax?bx 对称轴x?0即b?0 ?f(x)?ax 又f(1)?1 ?a?1 ?f(x)?x
2221222n2n(n?1)2111（2）an?? bn? ) Sn?2(? ) ;????1?2???n??2(?112n2n(n?1)n?n1n?1limSn?n??1?l?im?2(n??n?1?2?1??? )2.2n?1（3）C1?2. Cn?1?(Cn)
12482 ?Tn?2?2?2?2?2?Cn?2n?1
n?1?2(1?2?4???2)?2(2n?1)?2008?n?4,?nmin?4
例24 已知函数f?x??点P的横坐标为
1． 214?2x?x?R?，点P1?x1,y1?，P2?x2,y2?是函数f?x?图像上的两个点，且线段P1P2的中
⑴求证：点P的纵坐标是定值； ?n?⑵若数列?an?的通项公式为an?f???m??m?N,n?1,2,?,m?，求数列?an?的前m项的和Sm；
解：⑴由题可知：x1?x2?2?1?1，所以， 212114x?4x?4y1?y2?f?x1??f?x2??x?x?x4?24?24?24x?212?1??24x?4x?44x?4x?41?x?x??4?24x?4x?424x?4x?42121212?
?12??12?
点P的纵坐标yP?y1?y21?是定值，问题得证． 24?n??m?n?1⑵由⑴可知：对任意自然数m,n，f???f???恒成立．
?m??m?2
由于Sm?f??1??2??m?2??m?1??m???f?????f???f???f??，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于：?m??m??m??m??m??1??2??m?2??m?1??m?Sm?f???f?????f???f???f???m??m??m??m??m?
?m??m?1??m?2??2??1??f???f???f?????f???f??mmm???????m??m???1???m?1??m?1????2??m?2???1???m?2Sm??f???f?????f???f???????f???f????2f???m????m??m???m???m? ??m???m?所以，
11??m?1??2f(1)??3m?1?26所以，Sm?1?3m?1? 12例25 设f1(x)=
f(0)?12*
，定义fn+1 (x)= f1［fn(x)］，an =n（n∈N）.
fn(0)?21?x(1) 求数列｛an｝的通项公式； (2) 若T2n4n2?n*
?a1?2a2?3a3???2na2n，Qn=2（n∈N），试比较9T2n与
4n?4n?1Qn的大小，并说明理由.
解：（1）∵f1(0)=2，a1=
22?11=，fn+1(0)= f1［fn(0)］=,
1?fn(0)2?242?1fn?1(0)?11?fn(0)1?fn(0)1fn(0)?11∴an+1==== -= -an.
2fn?1(0)?24?2fn(0)2fn(0)?22?21?fn(0)1111n1
,公比为-的等比数列，∴an=(?)?. 4242（2）∵T2 n = a1+2a 2+3a 3+?+(2n-1)a 2 n?1+2na 2 n， 111111∴?T2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+?+(-)(2n-1)a2 n－1+(?)2na2 n
222222= a 2+2a 3+?+(2n－1)a2 n－na2 n.两式相减，得3T2 n= a1+a2+a 3+?+a2 n+na2 n.
21?12n?1?(?)4?2?3112n11112nn12n1??∴T2n =+n×(-)?=-(-)+(-)?.
1242662421?2∴数列｛an｝是首项为T2n =
3n?11112nn12n113n?13n?1-(-)+(-)?=(1-2n). ∴9T2n=1-2n.又Qn=1-， 2(2n?1)992629222 n
2
2 n
2
当n=1时，2= 4,(2n+1)=9,∴9T2 n＜Q n； 当n=2时，2=16,(2n+1)=25,∴9T2 n＜Qn；
013n2当n≥3时，22n?[(1?1)n]2?(Cn?Cn?Cn???Cn)?(2n?1)2， ∴9T2 n＞Q n.
0(x?0)?(x)?例26 已知函数f?n[x?(n?1)]?f(n?1)? a?f(n)(n?N*)n （I）求数列{an}的通项公式；
(n?1?x?n，n?N*)，数列{an}满足
（II）设x轴、直线x与函数y?f(x，求()(aa?0)?a)的图象所围成的封闭图形的面积为S； S(nS)?(n?1)(n?N*) （III）在集合M，且1中，是否存在正整数N，使得不等式?{N|NkkZ?2，?000??k1500}对一切n恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的?Na?1005??S(n)S(n?1)n最小的正整数N；若不存在，请说明理由。
im(b??b?b) （IV）请构造一个与{an}有关的数列{bn}，使得l存在，并求出这个极限值。 12?nn??解：（I）? ? n?N*f(n)?n[n?()nf?1]?()n?1?n?f()n?1 ? f(n)?f(n??1)n