????1，有x?y
?2x2?z?1?3代入④，⑤由?，解得y?x?， z?2?3
2?2x?z?1∴驻点为：P1(?1?3?1?3?1?3?1?3,,?1?3)和P2(,,?1?3) 2222P1∴dP?x2?y2?z21?9?53，dP?x2?y2?z22?9?53
P2由实际问题知，所求最大值和最小值存在，分别为
6（题略）.
9?53和9?53
解: 设圆柱高为H,圆锥高为h ,圆柱圆锥底半径为r,则浮标体积V=?rH?222?3r2h,
故:3V-?r(3H?2h)=0 (1) 浮标表面积S(r,h,H)=2?rH?2?rr2?h2?2?r(H?r2?h2)
令L(r,h,H)=2?r(H?r2?h2)+?[3V??r(3H?2h)
2?
?L由?2?(H?r2?h2)?2??r 有?r?r2r?h22?2r??(3H?2h)=0 （2）
?L?2??hrhr2?h2?2??r2=0 (3)
?L?2?r?3??r2?0 (4) ?Hh2r552??0, 故?, 代入（3）有, r=h,再由（2），有H=h,
223h223r?hh=
25r, ( r,
25r,
25r)为S(r,h,H)
r5?时,材料最省。 h2唯一驻点，由于实际问题存在最值，故当H=h,
16
7（题略）
解设BC=a, 则横截面积
S11(BC+AD)h=(2a?2hctg? )h=(a+h ctg? )h,a= ?h?ctg?,湿周
h22hSh F(h, ?)=?a?2CD?a?2??h?ctg??2sin?hsin??fS2由??2?ctg???0 (1) ?hsin?hS=
?f1?2cos???0 (2) 2??sin?
由(2)有1-2cos??0,???3, 由(1), h=
S43, 即(
?3,4S3)为唯一驻点，故当???3,
h=
S43 时，湿周最小.
习题2-1 1、解：在任意一个面积微元d?上的压力微元dF??gxd?，所以，该平面薄片一侧所受的水压力F????gxd?
D2、解：在任意一个面积微元d?上的电荷微元dF??(x,y)d?，所以，该平面薄片的电荷总量Q????(x,y)d?
D223、解：因为0?x?1,0?y?1，所以x?y?1?x?y?1，又lnu为单调递增函数，所以lnx?y?1?ln?x?y?1?，由二重积分的保序性得
22??0?x?10?y?1??ln?x2?y2?1d???0?x?10?y?1??ln?x?y?1?d?
4、解：积分区域D如图2-1-1所示，所以该物体的质量
M???(x2?y2)d???dy?D012?yy1884(x2?y2)dx??(?4y?4y2?y3)dy?
03335、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以
?dy?01y0f(x,y)dx??dx?f(x,y)dy
0x11 17
（2）积分区域如图2-1-3所示，所以（3）积分区域如图2-1-4所示，所以（4）积分区域如图2-1-5所示，所以
?dy?022yy2f(x,y)dx??dx?0104xx/2f(x,y)dy
1?y2?12?y?dx?122x?x22?xlnxf(x,y)dy??dy?1e0ef(x,y)dx
?e0dx?0f(x,y)dy??dy?yf(x,y)dx
16、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以
??xDyd???dx?20x1x22?41?6xydy??xx3/4?x3dx??x11/4?x5??
033?115?0551??（2）积分区域如图2-1-7所示，所以
??xyd???dy?D?2224?y20xydx?2?2201264y(4?y2)dy? 215（3）积分区域如图2-1-8所示，所以
x?ye??d???dx?D?1001?x?1?xex?ydy??dx?01011?x?1?xex?ydy??ex(e1?x?e?1?x)dx??ex(e1?x?e?1?x)dx?10
??(ee2x?e?1)dx??(e?e?1e2x)dx?e?e?1?1（4）积分区域如图2-1-9所示，所以
22(x?y?x)d???dy???D022?193?13(x2?y2?x)dx???y3?y2?dy? y/20248?6?y7、解：
（1）积分区域如图2-1-10所示，令x?rcos?,y?rsin?，所以??2????2,0?r?a，
故
??f?x,y?d????d??2D?2?a0r?f(rcos,rsin)dr
（2）积分区域如图2-1-11所示，令x?rcos?,y?rsin?，所以0????,0?r?2sin?，故 8、解：
（1）积分区域如图2-1-12所示，令x?rcos?,y?rsin?，所以0???故
??Df(x,y)d???d??0?2sin?0r?f(rcos?,rsin?)dr
?4,0?r??sin?，
cos2??dx?01x2x4(x?y)dy??4d??cos?r?rdr??4sec?tan?d???sec??0?2?1 222?12?sin???1000（2）积分区域如图2-1-13所示，令x?rcos?,y?rsin?，所以0????,0?r?2sin?，
aa2?y2?故
?0dy?0(x?y)dx?22?20d??rdr?0a3?a48
18
9、解：（1）积分区域如图2-1-14所示，故
??D2x12x2923 d??xdxdy?(?x?x)dx?122???114yxy（2）积分区域如图2-1-15所示，令x?rcos?,y?rsin?，所以0????2,0?r?1，故
??D211?r1?x2?y2?11?r22d???d???rdr??rdr222000421?x?y1?r1?r???????01?r42???02??211rdr??10?dr??1?r4?r3??1?11d(1?r4)?????04441?r1?r?dr21
1??112142??arcsinr?(1?r)02?22????????2??80?（3）积分区域如图2-1-16所示， 故
??(xD2?y)d???dy?a23ayy?a(x?y)dx??223aaa3(2ay?ay?)dy?14a4
322（4）积分区域如图2-1-17所示，令x?rcos?,y?rsin?，所以0???2?,a?r?b，
122?b故
2(x?y)d??d?r????dr?D0a222?3b?a3 3??10、解：积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得：S?4S1?4???d?，所以
D1S?4?d??40asin2??0rdr?2?asin2?d???acos2?4022?40?a2
图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3 图2-1-4
19
图2-1-5 图2-1-6 图2-1-7 图2-1-8
图2-1-9 图2-1-10 图2-1-11 图2-1-12
图2-1-13 图2-1-14 图2-1-15 图2-1-16
图2-1-17 图2-1-18
习题2-2 1、解：Q?
????(x,y,z)dv
?222、化三重积分为直角坐标中的累次积分
解：（1）因为积分区域?的上曲面为开口向上的旋转抛物面z?x?y，下曲面为z?0，积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:0?x?1;0?y?1?x，所以
???f?x,y,z?dv??dx??011?x0dy?x2?y20f?x,y,z?dz
2（2）因为积分区域?的上曲面为开口向下的抛物柱面z?2?x与下曲面为开口向上的旋转抛物面z?x?2y围成，二曲面的交线在xoy平面上的投影为圆x?y?1，即
2222?1?x?1?11?x22?x2?22dy?22f?x,y,z?dz ?:??1?x?y?1?x，所以???f?x,y,z?dv??dx??1?1?x2x?2y??x2?2y2?z?2?x2?
20