（3）因为积分区域?的上曲面为开口向上的旋转抛物面z?x?y，下曲面为z?0，积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:?1?x?1;x2?y?1，所以
22???f?x,y,z?dv???1?1dx?2dy?x1x2?y20f?x,y,z?dz
3、解：积分区域?如图2-2-1所示
???xzdxdydz???1?1xdx?2dy?x1y01211zdz??xdx?2ydy??x(1?x6)dx?0
?1x26?111另解：因为积分区域?关于坐标面yoz对称，又f(x,y,z)?xz关于第一坐标是奇函数，所以
???xzdxdydz?0。
?4、解：积分区域?如图2-2-2所示，当0?z?h时，过(0,0,z)作平行与xoy面的平面，
2?2R???R22R?x?y2??z?与立体?的截面为圆Dz:??h?，因而Dz的半径为hz，面积为h2z，
?z?z?故
???zdxdydz???h0zdz??dxdy?Dz?R2h2?h0zdz?3?R2h24
5、求下列立体?的体积
解（1）曲面所围立体是球体与旋转抛物面的一部分（如图2-2-3所示），用柱面坐标计算：
V????dv????rdrd?dz???d??dr?r2??0042?322?25??rdz
1122??[?(5?r2)?r4]0??(55?4)03163
图2-2-1 图2-2-2 图2-2-3
（2）因为积分区域?的上曲面为平面z?1?x，下曲面为z?0，积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:y?x?1;?1?y?1，所以
21
2V????dv??dy?2dx???1y111?x0111?11?8dz??dy?2(1?x)dx?2???y2?y4?dy?
?1y022?15?6、利用柱面坐标计算下列三重积分
解：（1）因为积分区域?的上曲面为开口向上的上半球面z?口向上的旋转抛物面z?x?y，将z?x?y代入z?22222?x2?y2，下曲面为开
2?x2?y2得z?2?z，
解此方程得z?1积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:x2?y2?1，由柱坐标公式得：Dxy:0???2?,0?r?1
???zdv??d??dr?2?00r2?12?r2zrdz?2??17?r2?r2?r4dr?。 02121??（2）因为积分区域?的上曲面为平面z?2，下曲面为开口向上的旋转抛物面2z?x?y，
22将z?2代入2z?x?y得x?y?4，所以积分区域?在xoy坐标面上的投影区域
2222Dxy:x2?y2?4，由柱坐标公式得：Dxy:0???2?,0?r?2
2?22212?16?2233?(x?y)dv?d?drrdz?2?r2?rdr?。 ?????????00r2/2023???7、利用球面坐标计算下列三重积分
解：（1）用球面坐标计算
22244(x?y?z)dv?rsin?drd?d??d?sin?d?r?????????dr??0002??14??1??2??(?cos?)0??r5????5?05（2）用球面坐标计算
1
???zdv????rcos??r??2sin?drd?d???d??02??/40sin?cos?d??2acos?0r3dr
?2????/40?/41sin?cos??(2acos?)4d??8?a4?sin?cos5?d?04?/48?a4??cos6?607??a468、选用适当的坐标计算下列三重积分
?0?r?cos???解：（1）积分区域?为球，故用球面坐标计算：?:?0???，所以
2??0???2?
22
???x2?y2?z2dv??d??02??/20d??cos?0r?r2sin?dr?2???/20sin?d??cos?0r3dr
?2???/201?1??/2sin??cos4??d????cos5?0?425102222（2）将z?2y代入z?x?y得到xoy平面上的一个圆x??y?1??1，用直角坐标公
式计算
???zdv??dx???111?1?x21?1?xdy?222yx?y2zdz，由于计算量较大，请同学一试。
用柱坐标计算x?rcos?,y?rsin?,z?z
???zdv??d???0?2sin?0dr?2r2rsin?zrdz??d??0?2sin?01r(4r2sin2??r4)dr2???08616531?5sin?d????3364226
（3）用柱坐标x?rcos?,y?rsin?,z?z计算
22zdv?d?drz??????rdz?2???0002?12r2r116r(z3)dr??
003151（4）用直角坐标计算
???xy?2zdv??xdx?ydy?zdz??xdx?000031x2xy31x0121xy2441 xydy??dx?0428364
习题2-3
1、 解：（1）因为连接点（1，0）和（2，1）的直线段的方程为y?x?1,1?x?2，所以
?(x?y)L?1ds??[x?(x?1)]12?11?(1)dx??2212dx?2
（2）L??x?2?y2ds???n2?0?a2cos2t?a2sin2t?n(?asint)2?(acost)2dt
??a2n?1dt?2?a2n?102?（3）
L2yds?2a?322?01?cost[a(1?cost)]2?(asint)2dt32?2a?2?
0(1?cost)dt?4?a 23
（4）因为星形线的参数方程为x?acost,y?asint，所以
22??2?33?2a3(?3acos2tsint)2?(3asin2tcost)2dx?x?yds?4??0??L??
33?12a53??20costsintdx?6asint02?6a532?53（5）因为折线ABCD由线段AB，BC和CD构成，在线段AB上，x?y?0,在线的BC上，y?0,而在线段CD上，x?1,z?2,y?t,0?t?3且ds?dy?dt
?xL2yzds?AB?x0t02yzds?BC?x2yzds?CD?x2yzds?0?0??12?t?2dt?9
03?zds??Lt0t?cost?tsint?2?(sint?tcost)2?1dt（6）
??011?22?t2d(2?t2)??2?t023???32? ?2??322、解：因为曲线L的极坐标方程为r?
1
?，所以
s??ds??L4334r??r??d???2243341??2?2d?，又
?1??2?2d????tanucosu1d(sinu)?du??sin2ucos2u?sin2u(1?sin2u)
1/21/2??1???2???d(sinu)1?sinu1?sinusinu??111?sinu???ln?Csinu21?sinu??43341??2 ?
1??2?11??2???ln?C221????53?ln 1222所以 s??1??2?2?0d??s??ds??Lr2??r??d????0?0e2a??a2ea?d?
3、解：
?1?a2?1?a2a?a?ed??(e?1)a习题2-4
1、（1）解：将曲面向xoy平面投影，得投影区域Dxy：x2+y2≤R2,从而有
24
??zdS??Dxy??R2?x2?y2?RR2?x2?y2dxdy
?Dxy23Rdxdy?R??R??R???0?x?2(2) 解：将平面向XOY平面投影，得投影区域，Dxy:?0?y?3?3x2?4(z?2x?y)dS???3??,从而有积分
Dxy??(4?2x?4422y?2x?y)1?zx?zydxdy33
Dxy??461dxdy?461322（3）解：由 ?1:z?1 （x?y?1）得 dS?dxdy,Dxy:x?y?1
22 由?2:z?(x?y)(0?z?1) 得
1222x2y2dS?(1?2?2)2dxdy?2dxdy22x?yx?y
Dxy:x2?y2?12?11??zx?ydS??1?222Dxy??x?ydxdy?222?d??rdr?2??002?12??;332?2
2222??zx?ydS???(x?y)2dxdy?2?Dxy0d??r2rdr?01所以，
222222??zx?ydS???(x?y)dS???(x?y)dS???1?22?2?? 322、解：将被截得的平面向XOY平面投影，又有已知条件的，z?c?ccx?y， abcczx??,zy??，设所求的面积为A，则有
abA???dS??Dxy??1?(?c2c1)?(?)2dxdy?ab22a2b2?a2c2?c2b2
23、解：将曲面向XOY平面投影，得投影区域，Dxy:x?y?4,且zx??2x,zy??2y， 设所求的面积为A，则有
25