divA??P?Q?R???0?x?x?2x， ?x?y?z ?divA(1,2,3)?2。
2． 证明：场力沿路径L所作的功为W??L?kkxdx?ydy，要证明场力所作的功与所33rr取的路径无关，只需证明上面的积分与路径无关，显然，半平面x>0是单连通域。 P???Q3k?Rkk?xy?在该区域具有一阶连续偏导数，另外，所以x,Q??y533?x?yrrr上面的积分与路径无关，因而结论正确。
i?3．解：（1）rotA??xyzi? （2）rotA??xxyzj??yzxj??yxyzk??0 ?zxyk???xz?xy?i??xy?yz?j??yz?zx?k ?zxyzk??i?j ?z0ij?? （3）rotA??x?yz?siny?z?xcosyi?rotA??x （4）
x2siny?xsin?cosz??xy2cos?xz?i?ysin?cosz?j?y2zcos?xz??x2cosyk?jk???y?zy2sin?xz?xysin?cosz?
???ji??4．证明：（1）rotA??0
?x?y22xcosy?ysinx,2ycosx?x2sixy 所以A为有势场
H?x,y???2xcosb?b2sinxdx??2ycosx?x2sinydy?ycosx?xcosy?cx?a??y22?b??
41
i? （2）rotA??xycos(xy) 所以A为有势场
习题4－1
xjk???0
?y?zxcos(xy)sinzyzH?x,y,z???bcos(bx)dx??xcos(xy)dy??sinzdzabc?sin(xy)?cosz?c
1111，u2=，u3=，u4=，…
2?1?12?2?12?3?12?4?11故un=
2n?11?21?31?11?12?13?1 （2）记一般项为un，则 u1=(-1)·，u2=(-1)·，u3=(-1)·，…
2311?nn?1故un=(-1)·
n1．（1）记一般项为un，则 u1= （3）记一般项为un，则 u1=
xxxx，u2=2 ，u3=3，u4=4，… 2?1!2?2!2?3!2?4!xn212223242 故un=
2n?n!1?1
（4）记一般项为un，则u1=(-1)
a1?1a2?1a3?12?13?1u3=(-1)??u2=(-1)?，，，…
2?1?12?2?12?3?1n?1 故un=(-1)
?an?1? 2n?12．（1）
1?n1?11?21?3????? ?22221?11?21?3n?11?n1?3??2n?1?11?31?3?5????? ?2?4?2n22?42?4?6n?1? （2）
（3）
?????1?n?15n?n?1111???? 51015 （4）
n!1!2!3!?1?2?3?? ?n123n?1n42
3．（1）该级数为几何级数，r＝?33，由于r??1，故该级数收敛。
44?1n （2）该级数的一般项un?该级数发散。
1n5?5?1?0(n??)，故由级数收敛的必要条件可知，
（3）该级数为几何级数，r? （4）设s?33?1，由于r??1，故该级数发散。 221111?2?3?4?? 222222223 ??1??2?3??
333 因为s为r?12的几何级数，?为r＝的几何级数，故s，?均为收敛级数， 23故原级数收敛。
习题4－2
1?112n?1?，而级数?发散，故该级数发散。 1． （1）因为limn??12n?1nn??11?n1?n1（2） 因为un???，而?发散，故原级数?un发散。 22n1?nn?nn?1nn?11?n2?n?1??n?4??lim2?1，而且?12收敛，故原级数收敛。 （3）因为limn??n??n?5n?41n?1n2nsin（4）因为limn???2n?lim?n??12nsin2?2n??，而且?1收敛，故原级数收敛。
?nn?1?2nun?13nlim2．（1）un?，因为
n??un?2nn故级数发散。
3n?13n3(n?1)?2n?1?lim?lim(?)??1， n??n??2n?123nn?2n （2）因为limun?1n??un(n?1)2n?11n?121?lim32?lim()??1,故级数收敛。 n??n??3n3n3n 43
（3）因为limun?1n??un2n?1?(n?1)!nn12(n?1)n?1?lim?lim2()?2lim??1, n??n??n??1nen?12n?n!(1?)nnn故级数收敛。
（4）因为limun?1?limn??un??n(n?1)tan?2n?2?limn?1?2n?2?limn?1?2n?2?1?1，
n??nn??n???2ntann?1tann?1222n?1tan??故级数收敛。
3.（1）因为limnun?limn??n1??1，故级数收敛。
n??2n?12（2）因为limnun?limn??1?0?1，故级数收敛。
n??ln(n?1)2n?1nn)（3）因为limnun?lim(n??n??3n?1n2?n?lim() n??3n?1112ln1n11?e[lim(2?)ln()]?e3?()2??1，故级数收敛。
n??n3n?139（4）因为limnun?limn??bb?，
n??aanbb?1，级数收敛；当b?a时，?1，级数发散；
aab当b?a时，?1，无法判断。
a3(n?1)()n?1u3nn?13344．（1）un?n()，而limn?1?lim?lim???1， n??n??n??34unn44n()n4故当b?a时，故级数收敛
un4（2）un?，而limn?1n??un!n(n?1)4n?141(n?1)!?lim?lim()??0?1，故级数收敛。 4n??n??nn?1nn!n?1?un?1n?1n(n?2)1?lim?lim?1，而级数?发散，故级数发散。 （3）因为limn??1n??n??n?21n?1nnn 44
(4）因为limun?1n??un2n?1?(n?1)!nn12(n?1)n?1?lim?lim2()?2lim??1, n??n??n??1nen?12n?n!(1?)nnn故级数收敛。
n?12)?1?0，故级数发散。 （5）因为limun?(n??n??111111（6）un???，而级数?发散，从而??发散，故原级数发散。
na?bann?1ann?1n15．（1）un?(?1)n?11n12，显然
?un?1?n为一交错级数，且满足un?un?1，limun?0，
n??? 因而该级数收敛。又
?un?1?n??n?11n12是p?1的p级数，所以
?un?1?n发散，
即原级数是条件收敛。
?un?1n?13n?11n?11 （2）对于lim?limn??lim???1，故?un收敛，
n??un??3n??n3n3n?1n从而原级数绝对收敛。
（3）un?(?1)n?1??11?11??n收敛，故原级数绝对收敛。 ，显然?un??n3n?123?23?2nn?1n?1 （4）un?(?1)n?1?11?0(n??)， ，?un为一交错级数，又un?ln(n?1)n?1ln(n?1) 且un?un?1，故由莱布尼兹定理可知，原级数收敛。但由于un?1， n?1?un?1?n发散，故原级数是条件收敛。
22n2n?2n?2n?2n?2n （5）因为?un?lim?lim??，故级数发散。
n??n!n??n(n?1)?3?2?1n?1??(?1)n?116．（1）因为?n?1??(?)4n?14n?1?n?111??(?)n为几何级数，且r??，
44n?0?其和为
114??。 1?r1?(?1)5445