A????dS??2Dxy??1?(?2x)2?(?2y)2dxdy1???(17)6?32?2?0d??01?4r2rdr???1??
4、解：以圆环的中心为坐标原点建立坐标系，则容易知道圆环薄片的面密度为：
?(x,y)?1x2?y2,当x2?y2?4时，设薄片的质量为M，则有 12?4M?2??2????x2?y222dxdy?4???d??021?rdr?8? raaa22,k?2?0 5、??(x,y)?k(x?y)，而?(,)??0,??0?k?222aaa4a2?0222222 M???2?0(x?y)ds?2?0?dx?(x?y)dy?3asa00
习题2-5
3x?(x,y)d??xyd??(x??????2ydy)dxDD0x31x1、 解：
1x6x811?(?)|0?26848221x
22y?(x,y)d??xyd??(x??????2ydy)dxDD0x1x6x911?(?)|0?36954
??D?(x,y)d????xyd???(?x2ydy)dxD0x221x1x5x711?(?)|0?25735
26
1?35?48x??,y?14835154?35,重心(35,35). 154485435222、 解：设P(x,y)为三角形上一点，则容易知道此点的密度为?(x,y)?x?y。
22x?(x,y)d??x(x?y)d???(?????DD0aa?x0x(x2?y2)dy)dx
?(?4xaxaxaxaa???)|0?152361522aa?y005423325??y?(x,y)d????y(x?y)d???(?DDy(x2?y2)dx)dy
?(?4yayayayaa???)|0?152361522aa?x005423325??D?(x,y)d????(x?y)d???(?D(x2?y2)dy)dx
4x42ax3a2x2a3xaa4?(????)|0?123236重心：(2a2a,) 55 3、 解：（1）由对称性知道重心一定在z轴上。
122z?dv?zdv?(zdz)dxdy?[1?(x?y)]dxdy???????????x2?y22Dxy??Dxy1?11rr1?2((1?r)rdr)d??(?)|d??02?0?02?02442?12?24
而圆锥的体积为：V?
?3。所以重心为：(0,0,)。
34（2）容易知道此几何体是两个同心半球之间的部分，且重心一定在z轴上。而
2?????dv????dv????0d??d?????sin?d?a?20A?3A2?3?2??[(?cos?)|]?(|a)?(A?a3)33?20
27
???z?dv????zdv????2?0d??d???cos?????sin?d?a?20A122?4A?4?2??(sin?|0)?(|a)?(A?a4)2443(A4?a4)重心：(0,0,)。
8(A3?a3)?
4、 解：以圆柱下底面的圆心为坐标原点，以转动轴为z轴建立坐标系，设P(x，y，z)为圆
柱体上一点，则此点到转动轴的距离为r?222x2?y2，因此
h2?aIz????r?(x,y,z)dv????(x?y)dv??dz?d??r2?rdr??0001??ha425、 解：设P(x,y,z)为弹簧上一点，则P到Z轴的距离为r?22?
x2?y2，因此有
Iz??r??(x,y,z)ds??a2?(a2?k2t2)?a2?k2dtL0?a2122?a2?k2?(a2t?k2t3)|0?a2a2?k2(3?a2?4k2?3)33
6、 解：有对称性知道Fy=0。
Fx?G??DR2?(x,y)x(x2?y2?a2)1(r2?a2)1232?d??G??2?(??2R2rcos?(r2?a2)32R1rdr)d??2G??[R1?a2(r2?a2)32]dr
rr2R2r2?2G?[(ln(?1?2)|R1)?(|RR1)]aaa2?r2?2G?[ln2R2?R2?a2R1?R?a212?R22a2?R2?R1a2?R12] 28
(x2?y2?a2)R21122??aG???d(r?a)3R12(r2?a2)212?aG??|RR1a2?r211?aG??(?)2222a?R2a?R1DFz??aG???(x,y)32?d???aG???(?2?2R21(r2?a2)32R1rdr)d?
7、 解：由对称性知道Fx=Fy=0。
[x2?y2?(z?a)]2?Rh(z?a)?G??d??rdr??000Fz?G????(x,y,z)(z?a)322dv[r2?(z?a)]2?1212h|0}rdr322dz??2?G??{[(z?a)?r]0R2??2?G??{[(h?a)?r]02122R22??[a?r]}rdr221222?12
R??2?G?{[(h?a)?r]?(a?r)}|0??2?G?{[(h?a)?R]?(a?R)?[(h?a)?a]}??2?G?{[(h?a)?R]?(a?R)?h?2a}
习题3-1
1、计算下列第二类曲线积分：
22（1）(x?y)dx,L为抛物线y?x上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧；
2122221221222212?L2（2）
(x?y)dx?(x?y)dy,L为按逆时针方向饶行的圆x2?y2?a2； 22?x?yL（3）
?Lydx?zdy?xdz,L为螺旋线x?acost,y?asint,z?bt上由t=0到t=2?的
有向弧段;
（4）
?xdx?ydy?(x?y?1)dz,L为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线；
L 29
（5）F?dl,其中F??(y,x),L为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针
L?方向；
（6）F?dl,其中F?L?ye1?xe2，L按逆时针方向饶行的圆x?acost,y?asint.
x2?y22解（1）化为对x的定积分，L: y?x，x从0到2，所以
131525624= (x?x)dx?(x?x)??(x?y)dx??003515L222（2）圆周的参数方程为：x?acost,y?asint(0?t?2?)
(x?y)dx?(x?y)dy 22?x?yL1a21=2a1=2a=
?2?02?(acost?asint)d(acost)?(acost?asint)d(asint) [(acost?asint)(?asint)?(acost?asint)(acost)]dt ?a2dt??2?
??02?0（3）L的参数方程为：x?acost,y?asint,z?bt，t从0到2?，所以
?Lydx?zdy?xdz=?asintd(acost)?btd(asint)?acostd(bt)
02? =
?2?0(?a2sin2t?abtcost?abcost)dt???a2
（4）直线的参数方程为：x?1?t,y?1?2t,z?1?3t(0?t?1) ?dx?dt,dy?2dt,dz?3dt代入
?xdx?ydy?(x?y?1)dz
L101 =[(1?t)?2(1?2t)?3(1?t?1?2t?1)]dt =
??(6?14t)dt?6?7?13
0（5）三条直线段的方程分别为
y=0,x从0到1； x=1,y从0到1； y=x,x从1到0. 所以 F?dl=?ydx?xdy
LL?? 30