?sinxx???[?e(y?siny)?esiny]dxdy???edx所以原式
D0xxxx?01ydy???sin2x?exdx20?1cos2x?e?2sin2x?e1?[?ex?]?(1?e?)42050
2．P?x?4xy,Q?6x43?
??12y?5y4，
?p?Q?12xy2,?6y2(??1)x??2 ?y?x因为积分与路径无关，所以
(1,2)?p?Q?,得??3 ?y?x12424(0,0)?(x?4xy)dx?(6xy?5y)dy??xdx??(6y2?5y4)dy??0043279 53.(1)p?x?2y,Q?2x?y
?p?Q?2?，是二元函数u(x,y)(的全微分. ?y?x由由?u1?p?x?2y，得u(x,y)??(x?2y)dx?x2?2xy??(y) ?x2?u?u?2x??'(y)及?Q?2x?y得，?'(y)?y ?y?y?(y)?(2)
1211y?C，故u(x,y)?x2?2xy?y2?C222
p?4sinxsin3ycosx,Q??3cos3ycos2x
数u(x,y)(的全微分.
?p?Q?12sinxcosxcos3y?，是二元函?y?x由由?u?p?2sin2xsin3y，得u(x,y)??(2sin2xsin3y)dx??sin3ycos2x??(y) ?x?u?u??3cos3ycos2x??'(y)及?Q??3cos3ycos2x得，?'(y)?0 ?y?y?(y)?C，故u(x,y)??sin3ycos2x?C
(3) p?2xcosy?ysinx,Q?2ycosx?xsiny 二元函数u(x,y)(的全微分.
22?p?Q??2xsiny?2ysinx?，是?y?x由?u?p?2xcosy?y2sinx?x36
，得
u(x,y)??(2xcosy?y2sinx)dx?x2cosy?y2cosx??(y)
由?u?u??x2siny?2ycosx??'(y)及?Q?2ycosx?x2siny得，?'(y)?0 ?y?y?(y)?C，故u(x,y)?x2cosy?y2cosx?C
(4)
p?y1?p1?Q?? ，是二元函数u(x,y)(的全微分. ,Q??x2x?yx2?x由由?uyyy?p?2，得u(x,y)??2dx????(y) ?xxxx?u1?u1????'(y)及?Q??得，?'(y)?0 ?yx?yxy?(y)?C，故u(x,y)???C
x4． （1）
P?3x2?6xy2,Q?6x2y?4y2
?P?Q?12xy?,故为全微分方程。 ?y?x由由?u?P?3x2?6xy2,得u(x,y)??(3x2?6xy2)dx?x3?3x2y2??(y) ?x?u?u4?6x2y??'(y)及?Q?6x2y?4y2得?'(y)?4y2，故?(y)?y3?C ?y?y3322通解为x?3xy?（2）
43y?C 3P?ey,Q?xey?2y
?P?Q?ey?,故为全微分方程。 ?y?x由由?u?P?ey,得u(x,y)??eydx?xey??(y) ?x?u?u?xey??'(y)及?Q?xey?2y得?'(y)??2y，故?(y)??y2?C ?y?yy2通解为xe?y?C
37
（3）
P?1?e2?,Q?2?e2?
?P?Q?2e2??,故为全微分方程。 ????由?u?P?1?e2?,得u(?,?)??(1?e2?)d?????e2???(?) ??由?u?u?2?e2???'(?)及?Q?2?e2?得?'(?)?0，故?(?)?C ????2?通解为?(1?e)?C （4）
P?y(x?2y),Q??x2
?P?Q?x?4y,??2x,故不是全微分方程。 ?y?x§3-4高斯公式和斯托克斯公式 1 （1） 原式=
???(??P?Q?R??)dxdydz ?x?y?z =3222(x?y?z)dxdydz ?????2?2a =3d?0?4sin?d????d? ??02 =
125?a 5（2） 原式= =
???(??P?Q?R??)dxdydz ?x?y?z2???(x?a?1)dxdydz
=bc(x?1)dx
0?2 =abc?abc
133 38
（3） 原式=
???(??P?Q?R??)dxdydz ?x?y?z =2???(y?z?xz)dxdydz
?311?y2 =2dzdy00??30?(y?z?xz)dx
02?1 =2dzd?(rsin??z?rcos?z)rdr
00??? =
3? 2 （4） 原式=
???(??P?Q?R??)dxdydz ?x?y?z =3???dxdydz
?3 =2?R （5） 原式= =
???(???P?Q?R??)dxdydz????(Pdydz?Qdzdx?Rdxdy) ?x?y?zS'S'???(?4x?8x?4x)dxdydz????4zxdxdy
ea =4xdx12a???dydz
S =2(e
?1)?a2
2.解:(1)圆周事实上就是xoy面上的圆x?y?9,取?为圆域
22x2?y2?9的上侧,
dydzdzdxdxdy???22ydx?3xdy?zdz????dxdy???dxdy?9? ?L???x?y?z??DXY22y3xz
39
(2) 取?为平面x?y?z?0被L所围成的部分的上侧, ?的面积为?a,?的单位法向量为n??cos?,cos?,cos????2?1?3,11??, 33?,113??yz?x13????0ds?0 ?z?x?y??y?z?dx??z?x?dy??x?y?dz???L?3??xy?z3.
dydzdzdxdxdy???解:?3ydx?xzdy?yz2dz??????z2?xdydz??z?3?dxdy
L?x?y?z??23y?xzyz??以
???z?? 其中?为平面z=2被L所围成的部分的上侧,因为?在yoz面上的投影区域为线段,所
2?xdydz?0,又?在xoy面上的投影区域为x2?y2?4,所以
2???2?3dxdy??5??2??20?, ???????z?3?dxdy?LDxy??3ydx?xzdy?yz2dz??20?
习题3—5
1． 解：（1）P?x?yz,Q?y?xz,R?z?xy， divA?222?P?Q?R???2x?2y?2z?2(x?y?z)， ?x?y?z ?divA(1,1,3)?10
（2）P?e,Q?cos?xy?,R?cosxzxy??，
2 divA??P?Q?R???yexy?xsin?xy??2xzsinxz2， ?x?y?z?? ?divA(0,0,1)?0
（3）P?y,Q?xy,R?xz，
2 40