???1dy??0101?xdx???xdx
10 =0
(6)?F?dlL????2?02?02?yxdx?dy2222x?yx?y asintacostd(acost)?d(asint)22aa???1dt??2?02、一力场由以横轴正向为方向的常力F构成，试求当一质量为m的质点沿圆周
x2?y2?R2按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功.
解：由题意知，场力所作的功为
W??Fdx
LL: x?y?R,x从R变到0， 于是，w=
222?Fdx??L0RFdx??FR
3、有一平面力场F，大小等于点（x,y）到原点的距离，方向指向原点.试求单位质量
x2y2的质点P沿椭圆2?2?1逆时针方向绕行一周，力F所作的功.
ab解：F?(?x,?y)
x2y2 椭圆2?2?1的参数方程为：x?acost,y?bsint，t从0到2?
ab所以，
2?W??F?dl???acost(dacost)?bsint(dbsint)L0??acost2222??0bsint2222?
?00 4、有一力场F，其力的大小与力的作用点到xoy平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的质点沿直线x?at,y?bt,z?ct(c?0)从点(a,b,c)移动到(2a,2b,2c)时，该场力所作的功.
解：F?kxyz(?,?,?)
222222222zx?y?zx?y?zx?y?z 31
直线的参数方程为：x?at,y?bt,z?ct(c?0)，t从1到2
2W??F?dl??(?a2t?b2t?c2t)所以，
L1kctat?bt?ct222222)dt
??习题3-2答案
ka?b?cln2c2221、 解：记S在x>0一侧为S1，在x<0一侧为S2，在z=h上的部分为S3，在z=0上的部分
为S4，在y>0一侧为S5，在y<0一侧为S6，则由题有
Q1???xdydz???xdydz???xdydz???xdydz???xdydz?ydzdx?zdxdy???xdydz?ydzdx?zdxdys1s2s3s4S1S2?y???(r?y?y)dydz?????r2?y2?y?r2?y2r2?y2DyzDyz?22y??dydz???2??r2?y2dydzDyzr?2?dy??rh0r2?y2dz?2h?
r?rr2?y2dy??hr2Q2???zdxdy???zdxdy???zdxdy???zdxdy???xdydz?ydzdx?zdxdy???xdydz?ydzdx?zdxdys1s2s3s4S3S4?
Dxy??zdxdy?h??dxdy??hrDxy2同理可得：Q3?S5?S62 ydzdx??hr???Q?Q1?Q2?Q3?3?hr2
2、解：（1）由题S：z??R?x?y,S在xoy面上的投影区域Dxy:x?y?R，
222222 32
???x2y2zdxdy????x2y2?R2?x2?y2dxdy?SDxy??Dxy??x2y2R2?x2?y2dxdy??d??r5cos2?sin2?R2?r2dr00R12???sin22??r5R2?r2dr040??2??2R7sin5tcos2tdt??R7401052?R
（2）
??Sezx2?y2dxdy?Dxy??ex2?y2x2?y2dxdy??d??erdr?2??e?e2?
2?201222（3）将S分成s1和s2，其中S1：z=h，x?y?h取上侧，
s2：z?x2?y2，0?z?hx>0取下侧
则
22?(x?y)dxdy?0,??[(y?x?y)?????????s1s1s2Dxy?xx?y22?(x2?y2?x)??yx?y22?(x?y)]dxdy?0??????????0ss1s2(4)记S在z=0上的部分为S1，在x=0上的部分为S2,在y=0上的部分为S3,在x?y?1上的部分为S4,在z?x?y上的部分为S5.有
2222yzdxdy?xzdydz?xydzdx?yzdxdy?xzdydz?xydzdx????S1S22222???yzdxdy?xzdydz?xydzdx?0S322
?x2z?22?yzdxdy?xzdydz?xydzdx?????x1?x????dxdz2S4Dxz?1?x?22?11?xz3?22?dz???dx???x1?x.?00?216?1?x?2
33
22yzdxdy?xzdydz?xydzdx???S5Dxy???y?x2102?y2?xx2?y2??2x??x2y??2y?dxdy?????Dxy???y24?2x?3xydxdy??d??r5sin4??2cos4??3sin2?cos2?dr20422?????1
??d??r5[sin4??2cos4??3cos2?(1?cos2?)]d???00?16?原式?3?????161683、 解：（1）
z?3?33x?y, 23?z3?z35??z???z????,??,1??????3,??y??x2?y3?x6????32?,cos???, 222255??z???z???z???z???1?????1???????????x???y???x???y?12cos???3225??z???z?1???????y???x????cos??原式=
22?z??x??z?y322???Pcos??Qcos??Rcos?dS?P?Q??????SS??553?R?dS. ?5?（2）
?z?z??2x,??2y, ?x?y 34
?cos???z?x22?2x1?4x2?4y2cos????z???z??1?????????x???y??z??y2cos????z???z??1?????????x???y?1??z???z??1?????????x???y?22?2y1?4x?4y11?4x2?4y222
2?原式=
2xP?2yQ?R??Pcos??Qcos??Rcos?dS?dS ????22SS1?4x?4y
§3-3格林公式及其应用 1．
(1) P?x?y,Q?x?e，
2y?p?Q??1,?1，故原式??y?x??(D?Q?P?)dxdy?2ab? ?x?y (2) P?(x?1)y,Q??x(y?2),
?p?Q?x?1,?2?y , ?y?x11?y?Q?P1?)dxdy??dy?(1?x?y)dx? 故原式???(?y6D?x00（3）P?(x?y),Q??(x?y)，
222?p?Q?2(x?y),??2x ?y?x11?y0?Q?Py312故原式???(?)dxdy???ydy???dy?(4x?2y)dx?(?)??1
?x?y313D100（4）P?e(1?cosy),Q??e(y?siny)，
(0,0)xx0?p?Q?exsiny,??ex(y?siny) ?y?x而在以(?,0)为起点(0,0)为终点的直线上
(?,0)xxe(1?cosy)dx?e(y?siny)dy?0 ?35