学生掌握知识的过程；最后，错误对于学生来说也是不可或缺的，是学生在学习过程中对所学知识不断尝试的结果。本人就初一学生数学解题误区作一粗浅分析。
一、正视学生的解题错误
在初一数学教学中，教师害怕学生出现解题错误，对错误采取严厉禁止的态度是司空见惯的。在这种惧怕心理支配下，教师只注重教给学生正确的结论，而不注重揭示知识形成的过程，害怕启发学生进行讨论会得出错误的结论。长此以往，学生只接受了正确的知识，但对错误的出现缺乏心理准备，看不出错误或看出错误但改不对。持这种态度的教师只关心学生用对知识而忽视学生会用知识。例如，在讲有理数运算时，由于只注重得出正确的结果，强调运算法则、运算顺序，而对运用运算律简化运算注意不够，但后者对发展学生运算能力却更为重要。总之，这种对待错误的态度会对教学带来一些消极的影响。
事实上，错误是正确的先导，成功的开始。学生所犯错误及其对错误的认识，是学生知识宝库的重要组成部分。
基于上述原因，教师对待错误的惧怕心理和严厉态度转变为承受心理和宽容态度是十分有意义的。因为数学学习实际上是不断地提出假设，修正假设，使学生对数学的认知水平不断复杂化，并逐渐接近成熟的过程。从这个意义上说，错误不过是学生在数学学习过程中所做的某种尝试，它只能反映学生在数学学习的某个阶段的水平，而不能代表其最终的实际水平。此外，正是由于这些假设的不断提出与修正，才使学生的能力不断提高。因此，揭示错误是为了最后消灭错误，我们所说的承受与宽容也是相对于这一过程而言的。在教学中给学生展示的这一尝试、修正的过程，是与学生独立解题的过程相吻合的。因而学生在教师教学过程中学到的不仅仅是正确的结论，而且领略了探索、调试的过程，这对学生的解题过程会产生有益的影响，使学生学会分析，自己发现错误，改正错误。教师具备这样的承受心理与宽容态度，才会耐心寻找学生解题错误的原因，并做出适当的处理。
二、初一学生解题错误的原因
学生顺利正确地完成解题，表明其在分析问题，提取、运用相应知识的环节上没有受到干扰或者说克服了干扰。在上述环节上不能排除干扰，就会出现解题错误。就初中学生解题错误而言，造成错误的干扰来自以下两方面：一是小学数学的干扰，二是初中数学前后知识的干扰。
(一)小学数学的干扰
在初中一开始，学生学习小学数学形成的某些认识会妨碍他们学习代数初步知识，使其产生解题错误。
例如，在小学数学中，解题结果常常是一个确定的数。受此影响，学生在解答下述问题时出现混乱与错误。题目是这样的：礼堂第一排有a个座位，后面每排都比前1排多1个座位，第2排有几个座位?第3排呢?设m为第n排的座位数，那么m是多少?求a=20,n=19时，m的值。学生在解答上述问题时，受结果是确定的数的影响，把用n表示m与求m的值混为一谈，暴露出其思考过程受到上述干扰的痕迹。
又如，小学数学中形成的一些结论都只是在没有学负数的情况下成立的。在小学，学生对数之和不小于其中任何一个加数，即a+b?a是坚信不疑的，但是，学了负数后，a+b＜a也是可能的。也就是说，习惯于在非负数范围内讨论问题，容易忽视字母取负数的情况，导致解题 错误。另外，“+”、“－”号长期作为加、减号使用，学生对于3－5+4－6，习惯上看作3减5加4减6，而初中更需要把上式看成正3负5正4负6之和。对习惯看法的印象越牢固，新的看法就越难牢固树立。
再有，学生习惯于算术解法解应用题，这会对学生学习代数方法列方程解应用题产生干扰。本人对上学期一次阶段性测试仍记忆犹新，原题是这样的：挖一条长1560米的水渠，由甲乙两个工程队从两头同时
开施工，甲队每天挖50米，乙队每天挖70米，挖好水渠需要几天？学生列出“方程”为X=1560/50+70,由此可以看出学生拘泥于算术解法的痕迹。而初中需要列出 50X+70X=1560 这样的方程，这表明学生对已知数和未知数之间的相等关系的把握程度。
总之，初中开始阶段，学生解题错误的原因常可追溯到小学数学知识对其新学知识的影响。讲清新学知识的意义(如用字母表示数)、范围(正数、0、负数)、方法(代数和、代数方法) 与旧有知识(具体数字、非负数、加减运算、算术方法)的不同，有助于克服干扰，减少初始 阶段的错误。 (二)初中数学前后知识的干扰
随着初中知识的展开，初中数学知识本身也会前后相互干扰。
例如，在学有理数的减法时，教师反复强调减去一个数等于加上这个数的相反数，因而3－7中7前面的符号“－”是减号给学生留下了深刻的印象。紧接着学习代数和，又要强调把3－7看成正 3与负7之和，“－”又成了负号。学生不禁产生到底要把“－”看成减号还是负号的困惑。这个困惑不能很好地消除，学生就会产生运算错误。
又如，了解不等式的解集以及运用不等式基本性质3是不等式教学的一个难点，学生常常在这里犯错误，其原因就有受等式两边可以乘以或除以任何一个数以及方程的解是一个数有关 。事实也证明，把不等式的有关内容与等式及方程的相应内容加以比较，使学生理解两者的异同，有助于学生学好不等式的内容。 又如,在学完10
?22?2=1/10=1/100=0.01之后,学生几乎不假思索地犯下
2（+7）=1/7=1/49=0.49的错误。
其实, 学生在解决单一问题与综合问题时的表现也可以说明这个问题。学生在解答单一问题时，需要提取、运用的知识少，因而受到知识间的干扰小，产生错误的可能性小；而遇到综合问题，在知识的选取、运用上受到的干扰大，容易出错。
总之，这种知识的前后干扰，常常使学生在学习新知识时出现困惑，在解题时选错或用错知识，导致错误的发生。
三、减少初中学生解题错误的方法
由上所述，学生不能顺利正确地完成解题，产生解题错误，表明其在解题过程中受到干扰。因此，减少初中解题错误的方法是预防和排除干扰。为此，要抓好课前、课内、 课后三个环节。 (一)课前准备要有预见性
预防错误的发生，是减少初中学生解题错误的主要方法。讲课之前，教师如果能预见到学生学习本课内容可能产生的错误，就能够在课内讲解时有意识地指出并加以强调，从而有效地控制错误的发生。例如，讲解方程x/0.7-(0.17-0.2x)/0.03=1之前，要预见到本题要用分式的基本性质与等式的性质，两者有可能混淆，因而要在复习提 问时准备一些分数的基本性质与等式的性质的练习，帮助学生弄清两者的不同，避免产生混乱与错误。因此备课时，要仔细研究教科书正文中的防错文字、例题后的注意、小结与复习 中的应该注意的几个问题等，同时还要揣摸学生学习本课内容的心理过程，授业解惑，使学生预先明了容易出错之处，防患于未然。如果学生出现问题而未查觉，错误没有得到及时的纠正，则遗患无穷，不仅影响当时的学习，还会影响以后的学习。因此，预见错误并有效防范能够为揭示错误、消灭错误打下基础。 (二)课内讲解要有针对性
在课内讲解时，要对学生可能出现的问题进行针对性的讲解。对于容易混淆的概念，要引导学生用对比的方法，弄清它们的区别和联系。对于规律，应当引导学生搞清它们的来源，分清它们的条件和结论，了解它们的用途和适用范围，以及应用时应注意的问题。教师要给学生展示揭示错误、排除错误的手段，使学
生会识别错误、改正错误。要通过课堂提问及时了解学生情况，对学生的错误回答，要分析其原因，进行针对性讲解，利用反面知识巩固正面知识。课堂练习是发现学生错误的另一条途径，出现问题，及时解决。总之，要通过课堂教学，不仅教会学生知识，而且要使学生学会识别对错，知错能改。 (三)课后讲评要有总结性
要认真分析学生作业中的问题，总结出典型错误，加以评述。通过讲评，进行适当的复习与总结，也使学生再经历一次调试与修正的过程，增强识别、改正错误的能力。
综上所述，学生的学习过程经历了从不知到知，从知之不多到知之较多，其间正确与错误交织，对错误正确对待、认真分析、有效控制，就能够使学生的学习顺利进行，能力逐渐提高。
提高数学素质的探索
秀屿区大丘中学 林文仁
“读读、议议、讲讲、练练”是被实践证明的培养学生良好学习习惯的一种好方法，在培养学生的自学能力，创造性思维和全面提高学生数学能力等方面，我做了如下一些尝试和探索。
一、读读——阅读过程中提出问题 在数学课上也应重视阅读能力的培养，良好的阅读能力和习惯是培养与提高数学自学能力的基础。所以，在每一章节新知识点、新概念的引人时，应让学生仔细阅读课本和相关知识点的内容，通过新旧知识的比较、联想，使学生将这些知识点有机地结合在一起，成为自己的知识。但是，常常有一些同学在阅读后，对这些知识点的关联程度和差异，知道不多，在阅读过程中无法提出问题，这种情况往往与这些同学的创造性思维能力较弱有关。所以，对于这样的情况我在开始时就让同学们将阅读过程中产生的疑问都提出来，并且要他们牢牢记住“思必在疑”这个规律，无论哪一位同学提出的问题其他同学都有共同解答的权利。只有具备良好的环境，才能让同学们静下心来思考问题，无后顾之忧。
一般情况下，要求学习带着读读过程中产生的问题，再仔细地阅读相关章节，通过对基础知识的理解使问题得以解决。
例如讲授“二元一次方程”时，学生在阅读二元一次方程和一元一次方程解集等概念，并与一元一次方程和一元一次方程的解这些相关概念进行比较后，常常会有疑问：“未知数项的次数”与“未知数的次数”是否一样？也就是这个“项”字有何不同。如果在二元一次方程的定义中也用一元一次方程中的“未知数的次
2
数是一次”来表示会有什么不同呢？这个问题涉及到学生以前掌握的知识，即x2x=x，x2y=xy这两项都是二次项，但后一项的x和y都是一次而它们的乘积项都是二次项。
这个阶段教师要重视在全班巡视过程中及时了解知识程度差的学生的思维过程，及时帮助这些学生掌握阅读方法、阅读的重点以及如何与前后知识进行联想，以培养他们的观察能力、理解能力和联想比较能力，从而进一步提高学生的自学能力。同时在巡视过程中要注意了解学生提出的问题与备课时设计的问题之间的关联区别。
二、议议——在讨论中回答问题，增进知识。
在“读读”结束后，组织前后两桌四个学生组成一个读议小组，让他们将在读书过程中产生的不论是否有结论的问题都提出来，四个人一起讨论，用书本上的知识来解答，对于解答不了的问题由教师组织全班同学一起探讨、归纳、总结，以求彻底解决问题。
我常在这个阶段注意收集他们讨论过程中普遍存在的知识点误区，并在以后的教学过程中向全班提出，
组织全班学生一起讨论。象上面提到的未知数项的次数与未知数次数之区别，何时能将项省略，为什么？这些都是来源于学生的提问，再让全班学生进行讨论而解决的。只有这样，才能减少学生对教师的依赖，不断提高自学能力。教师在教学过程中应把指导学生的学法，培养学生的学习能力，作为教学工作的一个重要方面去抓，并贯穿始终。
三、讲讲——提高“脑、口”反馈能力
在过去数学教学活动中，对学生口头表达能力的训练往往比较弱，而对于现在的学生除要求他们对新知识能掌握以外，还应训练他们的口头表述能力，使他们成为能思考、会演算、又能演讲的复合型人才，而且数学口头表达训练又有利于逻辑思维能力的培养。
因此，我要求每个学生在归纳总结小组讨论结果时都要有自己的方法，并在全班进行表述，这样几节课下来每位学生都得到一次口头表达训练，同时在他们表达以后，让全班同学对于他们提出的问题加以讨论，从而在这些问题上使全班能统一认识。
四、练练——知识的巩固
练习历来是数学课的重点，同时也是检查学生知识掌握程度和训练解题技巧的好方法。但是这多的练习将增加学生负担，因此应掌握一个“度”。这个“度”是力求做到将课本的练习和习题的80%放在课堂上解决，另外20%习题作为课外练习，让他们独立思考完成（这一类相对讲有一定的难度）。对于知识程序较高并掌握快的同学可适当指导他们看一些参考书，以扩大知识面，同时解决了“吃不了”与“吃不饱”的矛盾。
改革教学方法，提高教学质量。首先在课堂教学中，教师应控制正面讲授时间，多留给学生思考和练习的余地。教师在讲，应重在诱导、启发、分析知识和方法的来龙去脉。其次，教师应根据教学内容的具体情况，或者让学生自学，或在教师的引导下自学。教学中应留有充分的时间让学生进行思考与练习，以思带练，以练促思。练习题的选择与设计，既要有一定的梯度，又要给学生以选做的自由。这样既起到巩固知识、训练能力的作用，又能使各个层次的学生都能在练习中得到收益，体会到成功。总之，在教学中应该使学生积极参与，讲练符合学生实际，力求讲到点子上，练在关键处，减轻学生负担，提高课堂数学的效率。
在教学中要努力体现以学生为主体，时刻注重提高学生素质，让学生积极主动且较轻松地学好数学知识，牢固地掌握知识。教师还要合理地渗透数学思想，在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层以知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性。实践证明，以上四个步骤在提高学生学习积极性方面有着显著作用。我在讲授“二元一次方程”时，全体学生仅用20分钟就将课后练习全部做完，这不仅提高了学生学习的积极性，同时在单位时间内训练量大大地提高了，使差等生在读读议议讲讲练练过程中逐渐发现自身的潜在能力，培养起自学能力、树立起自信心。但是“读读、议议、讲讲、练练”并不是固定的教学程序，而要根据数学的需要有所安排和选择。这样，才能做到师生“共振”，提高教学效果和学习质量，从而全面提高学生的素质。
课堂教学中的数学美
秀屿区大丘中学 柯国庆
自从徐利治先生提出“数学美”概念以来，国内论述数学美的论文精彩纷呈，只是多数的文章仍然仅限于数学美的描述，通常都用2位数学名家庞卡菜（Poincare）,阿达玛（Hadamard）的数学美论述，加上各种
数学例子，多半是高等数学的，它对分类成对称美、和谐美、简单美、奇异美等。更应该去看重的是如何在课堂当中展开数学美，让学生切身感受得到进而欣赏得出，最终把数学的美育目标真正落实在中小学的数学课堂当中。
我们认为，数学教学中的美学意义有以下4个层次：美观、美好、美妙、完美。
第一层次：美观。这主要是数学对象以形式上的对称、和谐、简洁，给人感官带来美丽、漂亮的体会。 几何学常常带给人们直观的美学效果。几何中的“园”是全方位对称图形，它美观、匀称、无何争辩。到如今，在培训几何图形审美能力方面，已有许许多多成功的经验。日本的一堂国际性公开课，要求学生在已知大小的矩形场地上，设计一个美观的花坛。这正是将数学和艺术紧密而自然结合的好题目。由此可见，寓数学美于课堂教学之中，已有了一些成功尝试和实践。只有有心去做，并非是件什么难事。
数学学习的美观东西，不仅在几何里随处可见，在算术、代数里也有很多，例如：
（a + b）2c= a2c + b2c (a÷ b)(m ÷n ) = am÷ bn
a + b = b + a ； （a2b）m = am 2bm
这些公式和法则非常对称、和谐，同样给人美观好看的感受。当然，外表上美观的，并不一定是真实、正确的。用美学眼光猜测、认识数学规律，需要进行检验并确认。
例如，许多学生根据美学的和谐原则，习惯地自以为：
2a + 3a = 5a2 ； （a + b）2 = a2 + b2 Lg(M2N) = LgM2 LgN Sin(A+B) = sinA + sinB a÷(m + n) = a÷m + a÷n
的确，这些算式是何等的“对称”、“美观”啊！承认犯这种错误的学生，从某种角度解释是从美学观学眼光出发的一种本能的流露。“爱美之心，人皆有之”，我们也实在不可以太多责备这样去做的学生。恰恰是我们很珍惜这种审美的意识，再次鼓励他们独特去认识数学、刻画描述数学。当然，我们也应告诉他们美观的东西不一定都是好东西，正如我们生活中的罂粟花虽然美丽但却有毒，金玉其外可能败絮其中，光靠美观，不足以掌握好数学。
第二层次：美好。数学上的许多方面，只有认识它是正确，才能感受其“美好”。上面提到的诸如 2a + 2
3a = 5a 等，一旦意识到它们的错误，以至跌了跟斗，就不会再感到那些外在的“美”了。后式当中出现的