第20章平行四边形的判定
1．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 例题1： （1）BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要添加的一个条件是_________． 练习1： 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，那么BE=CF，请你说明理由。
A
D E B CF
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 例题2： 如图，平行四边形ABCD中，AF＝CH，DE＝BG。求证：EG和HF互相平分。 练习2： 如图， 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC 上的两点，若AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。 AD
E
F
B C（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 例题3： 如图：A、B、E在一条直线上，AB=CD，∠C=∠CBE，试证明AD=BC。 DC
EAB 练习3： 在平行四边形ABCD中，E,F分别是对边BC和AD上的两点，且AF=CE，求证：四边形AECF为平行四边形。
A B作业3： FDEC如图， 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC 上的两点，若BE//DF．求证：四边形BEDF为平行四边形．
E
F
B C
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 例题4： （1）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）.
A、一组对边相等，另一组对边平行；C、一组对角相等，一组邻角互补； B、一组对边平行，一组对角互补； D、一组对角互补，另一组对角相等。
（2）如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是∠DAB、BCD的角平分线，证明四边形AFCE是四边形。
FA D BC E（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 例题5： （1）下面几组条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）． A．一组对边相等; B．两条对角线互相平分 C．一组对边平行; D．两条对角线互相垂直
（2）已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD?相交于点O，EF经过点O并且分别和AB、CD相交于点E、F，又知G、H分别为OA、OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形。
AD
G E OF HBC
练习5： 如图， 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC 上的两点，若BE⊥AC于E，DF⊥AC于F.求证:四边形BEDF为平行四边形
ADA D E F BC 作业5： 如图，在□ABCD中，已知两条对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形。 AD
E HO
FG BC
2．矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 例题： （1）平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（ ）
A 梯形 B 矩形 C正方形 D不是平行四边形
（2）已知：如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形．求证：四边形ABCD是矩形。
BA
EDC 练习： 下列说法错误的是（ ）
A. 有一个内角是直角的平行四边形是矩形 B 矩形的四个角都是直角，并且对角线相等 C 对角线相等的平行四边形是矩形 D 有两个角是直角的四边形是矩形 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 例题： 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD的交点是点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。求证：四边形ABCD是矩形。
D AHE
O GFBC练习： 已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm． ①平行四边形是矩形吗？说明你的理由，
②求这个平行四边形的面积。
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。 例题： 如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO至点D，使BO=DO，连结AD，CD，?则四边形ABCD是矩形吗？请说明理由．
D A
O BC练习： 如图，在△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线，BE⊥AE，求证：AB=DE。 B
DE CA3．菱形的判定
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 例题： 如图：AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB与点E，DF∥AB交AC与点F。求证四边形AEDF是菱形。
A
E
F
BCD练习： 如图：△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DG⊥AB于G，EK⊥AB于K，GH⊥AC于H，EK和GH相交于点F，求证：四边形DEFG是菱形。
A
KH F
GBDEC（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 例题： （1）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、 BD相交于点O，AB=5,AO=1,OB=2,则AC、BD的位置关系是________________,四边形ABCD是菱形的道理是________
A
DBO C
（2）按图示的虚线折纸，然后连接ABCD可得菱形，由此可以得到_____________的四边形是菱形。 A BD
C
练习： 已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交与点E、F，求证四边形AFCE是菱形。
E AD BCF 作业： 如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于F，连接BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。
A F CBD
E
（3）四条边都相等的四边形是菱形。 例题： 在平行四边形ABCD中，AB=2BC，点E在DA的延长线上，AE=AD，点F在AD的延长线上，DF=AD，CE交AB于点G，BF交CD于点M，CE与BF交于点H，求证：四边形GBCM是菱形。