第五章连续时间模型和B-S公式 §5-1 股价离散模型 §5-3 Black－Scholes公式 §5-2 股价连续模型
§5-4 二叉树和连续时间模型
§5-1 股价离散模型
Sk?1?ee§5-2 股价连续模型
几何布朗运动模型（GBM）：
??tcZk?c2/2Sk
dS= μSdt+σSdW
该随机微分方程的解：
St＝S0exp[σWt+(μ- σ2/2)t]
估计参数μ和σ
已知:在[0,T]区间上的观测值Si（第i个子区间末的股价）样本为n十1个。
第一步计算时间序列值：
Ui＝1n(Si＋1)一1n(Si)
第二步计算统计量（均值和方差）
U?n?12?12S?(n?1)(U?U)?i ?Ui和
ni?1ni?1第三步解方程
??(U?S2/2)/?t??S/?t§5-3 Black－Scholes公式
X＝执行价，T＝到期时间，σ＝股价波动率 μ＝股价漂移率，r＝无风险利率 看涨期权： V= S0N(d1) – Xe-rTN(d2) 其中，N(x)表示标准正态分布函数。
ln(S0/X)?(r??2/2)Td1?,d2?d1??T
?T
公式推导 公式1：
E[max(V-X,0)]=E(V)N(d1)-XN(d2) （1）
1212ln[E(V)/X]?sln[E(V)/X]?s22和d?d1? 2ssV服从对数正态分布，标准差是s Black－Scholes公式
V=ST，E(V)=erTS0，s=σT1/2
?[max(S?X,0)]c?e?rTET?[S]N(d)?XN(d)}?e?rT{ET12?S0N(d1)?Xe
?rTN(d2)
期权平价公式 命题：
对同一种股票，同一个执行价格及同样到期日且股票在到期日之前不分红的欧式看涨和看跌期权价格有如下关系：
?rTC0?P?S?eX 00§5-4 二叉树和连续时间模型
在多期二叉树中，已知Su、Sd和q。N趋向于无穷时，随机变量lnST近似服从正态分布。只要Δt足够小，多期二叉树可以得到合理精度的解。
Pr[期权价值处于实值状态]＝N（d）
ln(S0/X)?(???2/2)Td1? ?T
第六章B-S模型的解析方法 §6-1 B-S微分方程 §6-3 期货期权 §6-2 B-S微分方程求解 §6-1 B-S微分方程 思路：
设V(S，t)表示股票期权的价格，St是股票在t时刻的价格．假设V(S，t)是关于变量S和t的平滑的函数： 第1步：将函数V关于S和t进行泰勒级数展开；
第2步：将dS代入V的泰勒级数中；
第3步：进行代数变换，(简化布朗项和忽略高阶项) 第4步：令V与复制的资产组合相等。 关键问题：随机变量Z2dt怎么处理？
E[Z2dt] = dt E[Z2] = dt， Var(Z2dt) = (dt)2 Var(Z2)，
即随机变量Z2dt的均值为dt，它的方差比dt高阶，当dt ? 0时，有Var(Z2dt) ? 0。
一个随机变量，若它的方差为零，则可以认为它是一个确定的量，并等于它的均值。从而
Z2dt = dt。
(μSdt+σSdW) 2 ≈ σ2S2dt
初始条件与偏微分方程：
为了得到诸如欧式看涨期权等衍生产品的价格，方程必须结合边界条件进行求解。
如：欧式看涨期权的边界条件 1、到期支付：V(S，t)＝(S－X) 2、上边界: S??, V?S 3、下边界: S＝0, V＝0 ． §6-2 B-S微分方程求解
B-S微分方程有许多解，但对某一指定的期权价格而言，就仅有一个符合条件的初始条件和边界条件。确定初边值条件后，微分
＋
方程的解就唯一确定了。 现金0-1期权
现金0-1期权在到期时刻T的支付如下：
·如果股票价格表现好(S＞X)，则期末价值为l元; ·如果股票价格表现不好(S＜X)，则期末价值为0。
V(t)=e-r(T-t)N(d2)
ln[S/X]r?d2??(?)T?t
?T?t?2股票0-1期权
股票0-1期权在到期时刻T的支付如下：
·如果股票价格表现好(S＞X)，则期末价值为S; ·如果股票价格表现不好(S＜X)，则期末价值为0。 可验证B－S微分方程的解为
V(t)=SN(d1)
d1?欧式看涨期权
ln[S/X]r??(?)T?t
?T?t?2设持有一份股票0－1期权同时卖出X份现金0－1期权，临界价格为X。 到期时，
如果股票表现坏(S 组合的到期支付与欧式看涨期权一致，因此，欧式看涨期权的价