步骤三：让Ex[1|t=tN]＝ E[1|t=tN] ，解出x。
零息券定价 方法一：期望值法
给定一个N期利率二叉树图，t＝0时投资的1美元在t＝tN时
的期望值为E[1|t=tN]，则在t＝tN时的零息券在t＝0的价格为： 1／E[1|t=tN] 方法二：倒向法
倒向法是Simpson悖论的一种间接形式。 平均数≠平均平均数
按期望值法投资将不会产生套利机会。 §9-3连续利率模型
设债券价格是T(到期时间)，t和短期利率r(t)的函数。
dr=μ(r,t)dt+σ(r,t)dW
?P?P12?2P?(????)???rP?0 2?t?r2?ru(t,T)?r(t,T)P(t,T)其中，?(t,r)?
v(t,T)例1
dr=μdt+σdW
设λ为常数，令a= μ－λσ，解微分方程
?P?P12?2P?a???rP?0 2?t?r2?r2a?P(t,T)?exp[?(T?t)r?(T?t)2?(T?t)3]
26参数估计
第1步计算理论收益率曲线
第2步由“最小二乘法”拟合初始收益率曲线
Vasicek模型
模型假定利率服从以下过程：
dr=a(b-r)dt+sdW
模型的特点：
1、均值回复特性：随时间的推移利率呈现出向某个长期平均水平收敛的趋势。
该模型以α的速度使利率回到β的水平上；
2、可能出现利率为负的情况。但对于很大的α和β值，出现利率为负的概率是非常低的，因此这个模型还是得到了很大的应用。
?P?P12?2P?a(b?r)???rP?0 2?t?r2?r)试解得： P(t,T?A(t,T?)reB(,tT
1A(t,T)??(1?e?a(T?t))
a(?A(t,T)?T?t)(a2b??2/2)?2A(t,T)2B(t,T)?? 2a4a