以E(s)为输出：GB(s)?Eo(s)?G2H?G2H?? N(s)1?(?G1G2H)1?G1G2H2-9 求出图（题2-9）所示系统的传递函数Xo(s)/Xi(s)。
Xi(s)G4??? ?? ?? G1? H2G2 H1G3 Xo(s) H3
题2-9
解：系统的传递函数为
3-1 时间响应由哪两个部分组成？各部分的定义是什么？
答：根据工作状态的不同，把系统的时间响应分为瞬态响应和稳态响应。系统稳定时，它的自由响应称为瞬态响应，即系统在某一输入信号的作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。而稳态响应一般就是指强迫响应，即当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态。
3-2 设温度计能在1分钟内指示出实际温度值的98%，并且假设温度计为一阶系统，求时间常数。如果将温度计放在澡盆内，澡盆的温度依10℃/min的速度线性变化，求温度计示值的误差是多大？
解1：依题意可得已知条件为t?1分，C(t)?0.98而一阶系统的传递函数为
X0(s)Gc(s)G(s)? Xi(s)1?GC(s)G(s)C(t)1 ?R(t)Ts?1即 C(s)?1R(s) Ts?1在上述第一问中，要求温度计在1分钟内指示出响应值的98%，这相当于对温度计输入一个单位阶跃。
亦即 r(t)?1(t)
1 s111T C(s)????Ts?1ssTs?1T?1?11即 c(t)?L[C(t)]?L[?] sTs?1则 R(s)??11?1 ?L[]?L[]?1?eT
1ss?T?1t将t?1分及C(t)?0.98代入上式可得
0.98?1?e
即 e将上式两端取自然对数化简后得
?1T?1T?1?0.98?0.02
T??1?1??0.256分?15.36秒
2.3lg0.02?3.9?解2：在第二问中已知澡盆温度以10/分线性变化，说明输入函数r(t)?At?10t，为斜坡函数，此时温度计的误差为
e(t)?r(t)?c(t)?At?c(t)
而当 r(t)?At 时
R(s)?A 2s11A1TT2R(s)??2?A[2??] 即 C(s)?Ts?1Ts?1sssTs?121?1T?1T?L] 则 C(t)?LC(s)?A[L2?LssTs?1?1?1?11?11 ?A[L2?TL?TL?1]?A(t?T?TeT)
1sss?T?1t即 e(t)?At?A(t?T?Te?tT)?AT(1?e)
?tT将已知和已求得之值数t?1分、t?0.256分、A?10代入上式即可求得温度计的误差为
e(t)?10?0.256?0.98?2.53?(上式为近似计算)。
3-3 已知系统的单位阶跃响应为x0(t)?1?0.2e?1.2e传递函数；（2）系统的阻尼比?和无阻尼固有频率?n。 解：（1）求解闭环传递函数?(s)
由已知条件，当输入为单位阶跃信号时
?t?10t，试求：（1）该系统的闭环
1??[x0(t)]??[1?0.2e?60t?1.2e?10t] s111 ??0.2? ?1.2?ss?60s?10 X0(s)??(s)则
?(s)?sX0(s)?1?0.2s1.2s(s?60)(s?10)?0.2s(s?10)?1.2s(s?60) ??s?60s?10(s?60)(s?10)s2?70s?600?0.2s2?2s?1.2s2?72s600? ? 22s?70s?600s?70s?600（2）求解阻尼比?和无阻尼固有频率?n 将闭环传递函数化为二阶振荡环节的标准形式
600?n?(s)?2?2
s?70s?600s?2??ns??n22???n?600根据对应关系可得 ?
??2??n?702解得 ?n?24.5rad/s，??1.43。
3-4 图（题3-4（a））是一个机械系统，当有20N的力作用于该系统时，其质块m作如图（题3-4（b））所示的振动，试根据曲线上的x0(tp)?x0(?)?0.0095m,tp?2s，确定
m,c和k 。
k20Nxo(t)/ m0.0095m0.1xo(t)012345t/stp(a)(b)
图 题3-4
解：由图(a)可知，xi(t)是阶跃力输入，xi(t)?20N，x0(t)是输出位移。由图(b)可知系统的稳态输出x0(?)?0.1m，x0(tp)?x0(?)?0.0095m,tp?2s，此系统的传递函数显然为：
G(s)?X0(s)1?2， Xi(s)ms?cs?k式中， Xi(s)?（1）求k
20N。 s120N20N。 ??ms2?cs?ksk X0(?)?limx0(t)?lims?X0(s)?limst??s?0s?0 而X0(?)?0.1m，因此k?200N/m。 （2）求m
??? Mp?e1??2?100%?0.0095?100%?9.5% 0.1 求得??0.06。 将tp?2s,??0.6代入tp?2??n1??2中，得?n?1.96s。
?1再由k/m??n，求得m?77.3kg。
（3）求c 由2??n?c/m，求得c?181.8N?s/m。
3-5 试求下面系统在单位斜坡函数r(t)?t(t?0)输入下的响应，并求出单位斜坡函数
输入时的误差函数 。
(1) G(s)?1的系统； Ts?12?n(2) G(s)?2的系统(0???1)。 2s?2??ns??n解：（1）由题意知r(t)?t，其拉氏变换R(s)?1/s，得稳态误差为 ess?limss?02Ts?11Ts?1 ?Ts?2s2s(Ts?2)2 （2）由题意知r(t)?t，其拉氏变换R(s)?1/s，得稳态误差为
?n21?n2? ess?lims22 2s?0s?2??s?2?2s2s(s?2??s?2?nnnn)K ， Ts?1（1）K?20，T?0.2；（2）K?1.6，T?0.1；（3）K?2.5，T?1三种情况时的单
3-6 已知单位反馈系统的开环传递函数 GK(s)?位阶跃响应，并分析开环增益K与时间常数T对系统性能的影响。 解：由已知开环传递函数为 GK(s)?则系统闭环传递函数为
K，且是单位负反馈， Ts?1G(s)?GK(s)K?
1?GK(s)Ts?K?1（1）当单位阶跃信号输入时， xi(t)?1(t),Xi(s)?1/s，则系统在单位阶跃信号作用下的输出的拉氏变换为
Xo(s)?G(s)Xi(s)?2020/2120/21 ??s(0.2s?21)ss?105将上式进行拉氏反变换，得出系统的单位阶跃响应为
xo(t)?L?1?Xo(s)??(20/21)?(20/21)e?105t
（2）当单位阶跃信号输入时， xi(t)?1(t),Xi(s)?1/s，则系统在单位阶跃信号作用下的输出的拉氏变换为
Xo(s)?G(s)Xi(s)?1.68/138/13??
s(0.1s?2.6)ss?26将上式进行拉氏反变换，得出系统的单位阶跃响应为
xo(t)?L?1?Xo(s)??(8/13)?(8/13)e?26t