第九章 杆件的强度分析与计算
第一节 概述
一、构件的承载能力
机械或机器的每一组成部分称为构件，它是机器的运动单元，为保证构件正常工作，构件应具有足够的能力负担所承受的载荷。因此，构件应当满足以下要求： （一）、 强度要求：
构件在外力作用下应具有足够的抵抗破坏的能力。在规定的载荷作用下构件不应被破坏,具有足够的强度。例如，冲床曲轴不可折断；建筑物的梁和板不应发生较大塑性变形。强度要求就是指构件在规定的使用条件下不发生意外断裂或塑性变形。
（二）、 刚度要求：
构件在外力作用下应具有足够的抵抗变形的能力。在载荷作用下，构件即使有足够的强度，但若变形过大，仍不能正常工作。例如，机床主轴的变形过大，将影响加工精度；齿轮轴变形过大将造成齿轮和轴承的不均匀磨损，引起噪音。刚度要求就是指构件在规定的使用条件下不发生较大的变形。 （三）、 稳定性要求：
构件在外力作用下能保持原有直线平衡状态的能力。承受压力作用的细长杆，如千斤顶的螺杆、内燃机的挺杆等应始终维持原有的直线平衡状态，保证不被压弯。稳定性要求就是指构件在规定的使用条件下有足够的稳定性。
为满足以上三方面的要求，构件可选用较好的材料和较大的截面尺寸，但这与节约和减轻构件自相矛盾。构件设计的任务就是在保证满足强度、刚度和稳定性要求的前提下，以最经济的方式，为构件选择适宜的材料、确定合理的形状和尺寸。
二、变形固体的基本假设
由各种固体材料制成的制成的构件在载荷作用下将产生变形，称为变形固体或变形体。为了便于理论分析和实际计算，对变形固体常采用的几个基本假设： （一）．连续性假设：假设在固体所占有的空间内毫无空隙地充满了物质。实际上，组成固体的粒子之间存在空隙，但这种空隙极其微小，可以忽略不计。于是可认为固体在其整个体积内是连续的。基于连续性假设，固体内的一些物理量可用连续函数表示。
（二）．均匀性假设：均匀性假设是指材料的力学性能在各处都是相同的，与其在固体内的位置无关。
（三）．各向同性假设：即认为材料沿各个方向的力学性质是相同的。具有这种属性的材料称为各向同性材料。例如钢、铜、铸铁、玻璃等。而木材、竹和轧制过的钢材等，则为各向异性材料。但是，有些各向异性材料也可近似地看作是各向同性的。我们只讨论各向同性材料。
（四）.完全弹性假设：构件在外力作用下将发生变形，当外力不超过一定限度，大多数构件在外力去掉后均能恢复原状。当外力超过某一限度，则在外力去掉后只能部分地复原而另一部分变形不能消失。外力去掉后能消失的变形称为弹性变形；不能消失而留下来的变形称为塑性变形。工程实际中多数构件在正常工作条件下只产生弹性变形，而且这些变形与构件原有尺寸相比通常很小，所以，本教材只研究完全弹性的构件。 三、杆件变形的基本形式
在机器中，构件的形状是多种多样的。如果构件的纵向（长度方向）尺寸较横向（垂直于长度方向）尺寸大得多，这样的构件称为杆件。杆件是工程中最基本的构件。如机器中的传动轴、螺杆、房屋中的梁和柱等均属于杆件。某些构件，如齿轮的轮齿、曲轴的轴颈等，并不是典型的杆件，但在近似计算或定性分析中也简化为杆。
垂直于杆长的截面称为横截面，各横截面形心的连线称为轴线。轴线为直线，且各横截面相等的杆件称为等截面直杆，简称为等直杆。我们这里主要研究等直杆。
外力在杆件上的作用方式是多种多样的，当作用方式不同时，杆件产生的变形形式也不同。归纳起来，杆件变形的基本形式有如下四种：
（一）拉伸或压缩：图9.1.1所示简易吊车。在载荷F作用下，AC杆受到拉伸，而BC杆受到压缩。这类变形形式是由大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力引起的，表现为杆件的长度发生伸长或缩短。起吊重物的钢索、桁架的杆件、液压油缸的活塞杆等的变形，都属于拉伸或压缩变形。 （二）剪切：图9.1.2 a）所示为铆钉联接，在F力作用下，铆钉受到剪切。这类变形形式是由大小相等、方向相反、相互平行的力引起的，表现为受剪杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动，如图9.1.2b所示。机械中常用的联接件，如键、销钉、螺栓等都产生剪切变形。
图9.1.1 轴向拉伸与压缩图 图9.1.2 剪切
（3）扭转：如图9.1.3所示方向盘转轴AB，在工作时发生扭转变形。这类变形形式是由大小相等、方向相反、作用面垂直于杆件轴线的两个力偶引起的，表现为杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。汽车的传动轴、电机的主轴等，都是受扭杆件。
（4）弯曲：如图9.1.4所示梁的变形即为弯曲变形。这类变形是由垂直于杆件轴线的横向力，或由作用于包含杆轴的纵向平面内的一对大小相等、方向相反的力偶引起的。变形表现为杆件轴线由直线变为曲线。在工程中，受弯杆件是最常遇到的情况之一。桥式起重机的大梁、各种心轴以及车刀等的变形都属于弯曲变形。
还有一些杆件的变形比较复杂，可能同时发生几种基本变形。例如钻床立柱同时发生拉伸和弯曲两种基本变形；车床主轴工作时发生弯曲、扭转和压缩三种基本变形。几种基本变形的组合称为组合变形。我们将依次讨论四种基本变形的强度及刚度计算，然后再讨论组合变形。
图9.1.3 扭转 图9.1.4 弯曲 四、内力、截面法和应力概念 （一）、内力的概念
构件工作中受到其它物体对它的作用力。称为外力。这些外力包括载荷、约束力、重力等。按照外力作用方式的不同，外力又可分为分布力和集中力。在外力作用下，构件发生变形时，构件的各质点间的相对位置改变而引起的附加内力，简称内力。内力随外力的改变而改变。但它的变化是有一定限度的，不能随外力的增加而无限地增加。当内力加大到一定限度时，构件就会破坏，所以计算内力是进行构件强度、刚度和稳定性计算的基础。 （二）、截面法
截面法是已知构件外力确定内力的基本方法。就是假想用一截面把构件截成两部分，取其中一部分为研究对象，并以内力代替另一部分对研究对象的作用。根据研究部分内力与外力的平衡来确定内力的大小和方向。
如图9.1.5所示，已知杆件在外力F作用下处于平衡，欲求m－m截面上的内力。可用一假想截面m－m把杆件裁成两部分，然后取任一部分为研究对象，另一部分对它的作用力，即为m－m截面上的内力N。因为整个杆件是平衡的，所以每一部分也都平衡，那么，m－m截面上的内力必和相应部分上的外力平衡。由平衡条件就可以确定内力。例如在左段杆上由平衡方程 N?F?0 可得 N?F
图9.1.5 截面法
按照材料连续性假设，m－m截面上各处都有内力作用，所以截面上应是一个分布内力系，用截面法确定的内力是该分布内力系的合成结果。 综上所述，截面法可归纳为以下三个步骤：
1、假想截开 在需求内力的截面处，假想用一截面把构件截成两部分。 2、任意留取 任取一部分为究研对象，将弃去部分对留下部分的作用以截面上的内力N来代替。
3、平衡求力 对留下部分建立平衡方程，求解内力。 （三）、应力的概念
在用截面法确定了拉（压）杆的内力以后，还不能判断杆件的强度是否足够。例如，有同样材料而截面面积大小不等的两根杆件，若它们所受的外力相同，那么横截面上的内力也是相同的。但是，从经验知道，当外力增大时，面积小的杆件一定先破坏。这说明杆件的强度不仅与内力有关，还与截面积有关，即取决于内力在横截面上分布的密集程度。所以把内力在横截面上的密集程度称为应力。其中垂直于截面的应力称为正应力，用ζ表示；平行于截面的应力称为切应力，用η表示。如图9.1.6所示。
图9.1.6 应力的概念
根据材料的均匀连续性假设可推知，横截面上各点处的变形相同，受力也相同，即轴力在横截面上均匀分布的，且方向垂直于横截面，即杆件横截面存在有正应力?。其计算式为：
??FNA (9.1.1)
在国际单位制中，应力单位是帕斯卡，简称帕（Pa）。工程上常用兆帕（MPa），有时也用吉帕（GPa）。
第二节 杆的轴向拉伸及压缩
一、轴向拉伸和压缩的概念
在工程实际中，经常遇到承受拉伸或压缩的构件。例如图9.2.1(a)所示的起重装置中的压杆BC及拉杆AB。AB杆受到沿轴线方向拉力的作用，沿轴线产生伸长变形；而BC杆则受到沿轴线压力的作用，沿轴线产生缩短变形。此外，内燃机中的连杆，建筑物桁架中的杆件均为拉或压杆。这些构件外形虽各有差异，加载方式也不尽相同，但它们共同的受力特点是：作用在直杆两端的两个合外力大小相等，方向相反，且作用线与杆轴线相重合。在这种外力作用下，杆件的变形是沿轴线方向伸长或缩短。这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩，这类杆件称为拉杆或压杆。