第五节 压杆稳定
一．压杆稳定的概念
前面研究受压直杆时，认为它的破坏主要取决于强度，并规定杆件的工作应力必须小于它的许用应力，以保证杆件安全地工作。实际上，这个结论只对短粗的压杆才是正确的，若用于细长杆，将导致错误的后果。例如，取一块截面积为100mm2，高为10mm的木板，若要用一个人的力气将它压坏，显然是困难的。若压的是一根截面尺寸相同、而长为1m的木杆（如图9.5.1），则情况大不一样，用不大得力就能将它压弯，再使劲，它就折断了。这表明对压杆来说，短杆和细长杆产生破坏的性质是不同的。短杆是强度问题，而细长杆则是能否保持原有直线平衡状态的问题，即为稳定性问题。工程上把压杆保持它原有直线平衡状态的能力，称为压杆的稳定性。
图 9.5.1不同长度的受压杆
对于受拉的直杆，如图9.5.2（a）所示，在其两端作用有一对大小相等、方向相反的轴向力，杆件处于平衡状态。当遇到横向外力的干扰时，杆件也会变弯，如图9.5.2（b）所示，一旦撤去横向外力后，杆件总是会恢复到原来的直线形状。这就是说，直杆在受拉时，其原有的直线平衡状态是稳定的。
对于受压的直杆，如图9.5.3（a）所示，当力P不大时，压杆保持直线平衡状态。此时若给杆加一横向干扰力Q，杆便发生微小弯曲，当突然去掉干扰力后，杆就会左右摆动，且摆动幅度越来越小。杆经过几次摆动后，仍恢复为原来的直线平衡状态如图9.5.3（b）所示，这说明压杆原有直线形状的平衡是稳定的。但当压力P增大到某一值Pij时（P=Pij），杆在同样大小的横向力干扰下发生弯曲，当
此时去掉干扰力后，杆件不能恢复原有的直线状态，而处于微弯的平衡状态如图9.5.3（c）。再增加压力（P>Pij），杆
图9.5.2 受拉杆件 图9.5.3 受压杆的稳定与不稳定平衡
的弯曲将明显增大，直至折断。这说明压杆原有直线状态的平衡，是不稳定的。 由上述分析可知，细长压杆的直线平衡状态是否稳定，取决于压力P的大小，当压力P在
0?P?Pij时，压杆处于稳定的直线平衡状态。当压力
P?Pij时，压
杆就会失稳。当
P?Pij时，标志着压杆由稳定平衡状态转化为不稳定平衡状态的
临界状态。对应于这种临界状态的压力Pij，称为临界压力或临界力。也可以说，临界力Pij就是压杆保持稳定平衡状态的极限载荷。因此，对于压杆稳定性的研究，关键在于确定临界力Pij。
临界压力值或临界应力值越大，压杆抗失稳的能力越强。实验和理论都证明，压杆的临界压力的大小，除与压杆的材料有关外，还与压杆横截面的形状尺寸以及压杆两端的支承情况有关。
综合考虑压杆的杆长，横截面的形状及支承情况，可把压杆分成三类压杆，即细长杆，中长杆和短粗杆。细长杆和中长杆需要进行稳定校核，而短粗杆不需要进行稳定校核。因为短粗杆的破坏属于强度问题。 二．提高压杆承载能力的措施
为提高压杆承载能力，必须综合考虑杆长、支承、载面的合理性及材料等因素。 尽量减少压杆长度
对于细长压杆，其临界力与杆长的平方成正比，因此，减小杆长可以显著提高压杆的承载能力。在某些情况下，通过改变结构或增加支点可以达到减少杆长的目的。增强支承的刚性，支承的刚性越大，反映约束的系数μ越小，临界力越大。例如，将两端铰支的细长杆变成两端固定约束时，临界子力将成倍增加。
合理选择截面形状。当压杆两端在各个方向上的挠曲平面内具有相同的约束条件时，压杆将在刚度最小的主轴平面内失稳。这时，最好使截面对各个方向轴的惯性矩相同。在这种情形下，对于一定的横截面面积，正方形截面或圆截面比矩形截面好，空心正方形或圆形截面比实心截面好。
合理选用材料。在其他条件相同的情形下，选择弹性模量较大的材料可以提高细长杆的承载能力。例如钢杆的临界力大于铜、铸铁或铝制压杆的临界力。但是，普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量相差不大，因此对于细长杆，选用高强度钢对于压杆的临界力影响甚小，意义不大，反而造成材料的浪费。对于粗短杆或中长杆，其临界力与材料的比例极限和屈服极限有关，这时选用高强度钢会使临界力有所提高。
思考与习题
9.1 两根不同材料制成的等截面直杆，承受相同的轴向拉力，它们的横截面积和长度都相等。试说明1）横截面上的应力是否相等？2）强度是否相同？3)绝对变形是否相同？为什么？
9.2 说明下列概念的区别：（1）内力与应力；（2）变形与应变；（3）极限应力与许用应力；（4）正应力与切应力。
9.3 试求图示各杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力，并画出轴力图。
题9.3图
9.4 杆件在什么情况下要考虑其稳定性？
9.5 阶梯杆自重不计，受外力如图所示，试求杆内的最大正应力。已知其横面面积分别为AAB = ABC = 500mm2，ACD =300mm2。
9.6 某冷凝机的曲柄滑块机构如图所示，锻压工作时，连杆接近水平位置，锻压力P=3780kN。连杆横截面为矩形，高与宽之比h/b=1.4，材料的许用应力［ζ］= 90 Mpa，试设计截面尺寸h和b。
题9.5 图 题9.6 图
9.7 一个带有铣槽的阶梯杆如图所示，已知F=100kN，d1=45mm，d2=50mm，试求杆中的最大正应力及其所在截面的位置（提示：铣槽横截面面积可近似作为矩
d2?d2形，面积为4，不计应力集中的影响）。
9.8 木架受力如图所示，木架左右立柱的横截面积A=10?10cm2。试作立柱的轴力图，并求立柱各段横截面上的应力。
题9.7 图 题9.8图 9.９．等截面直杆，其荷载及尺寸如图所示。已知横截面面积A = 10cm2，材料的弹性模量E = 200GPa。试求：（1）绘制轴力图；（2）各段杆内的应力；（3）杆的纵向变形?l。
题9.９图 题9.1０图
9.1０ 一阶梯形钢杆受力如图9－11所示，弹性模量E =206GPa，F1=120kN，F2 = 80kN，F3 = 50kN，各段的截面面积为AAB＝ABC＝550mm2，ACD＝350mm2，钢材的许用应力为［ζ］＝160GPa，试对钢杆进行强度校核。
9.1１ 用绳索起吊重G?10kN的木箱，如图所示，设绳索的直径d?25mm，许用应力????10MPa。试问绳索的强度是否足够？如果强度不足，则绳索的直径应取多大才能安全工作？
题9.1１图 题9.1２图
32A?10?10mmAB9.1２ 一钢木结构吊架如图所示。AB为木杆，其截面面积，
2A?600mm????7MPa许用应力AB；BC为钢杆，其截面面积BC，许用应力
???BC?160MPa。试求该结构在B处可吊的最大许可载荷Pmax。
9.13 自制悬臂吊车尺寸如图所示。电动葫芦能沿横梁AB移动。已知电动葫芦自重G?5kN,起吊重物重W?15kN。拉杆BC为圆形面，其材料采用Q235A钢，许用应力????120MPa。试确定拉杆BC的直径d。
2A?707mm19.14 在如图所示的三角架中，AC为钢杆，横截面面积，许用应2????160MPaA?5000mm12力；BC为木杆，横截面面积，许用应力???2?8MPa。
载荷P?60kN。（1）问此结构能否安全工作？（2）求此结构的最大许可载荷P。
题9.13 图
题9.14图