数列 考纲导读 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题．
3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．知识网络 定义项，通项数列基础知识数列表示法数列分类数列等差数列等比数列特殊数列定义通项公式前n项和公式性质其他特殊数列求和高考导航 纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．
从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用．
第1课时 数列的概念
基础过关 1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数
N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{an}的第 项．2．数列的通项公式
一个数列{an}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：
??aa? ??nn??n?1n?24．求数列的通项公式的其它方法
⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．
⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．
⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.
典型例题 例1. 根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式．⑴ －
24816，，－，…；3?55?77?91?3⑵ 1，2，6，13，23，36，…；⑶ 1，1，2，2，3，3，解： ⑴ an＝(－1)n
122n?1(2n?1)(2n?1)⑵ an＝(3n2?7n?6)（提示：a2－a1＝1，a3－a2＝4，a4－a3＝7，a5－a4＝10，…，an－an－1＝1＋3(n－2)=3n－5．各式相加得
an?1?[1?4?7?10???(3n?5)]?1??1(n?1)(3n?4)21(3n2?7n?6)21?12?03?1,,,222⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为
4?05?16?0,,,?,222
∴an?n?1?(?1)n?1222n?1?(?1)n?1?4变式训练1.某数列{an}的前四项为0，2，0，2，则以下各式：① an＝
2[1＋(－1)n] ② an＝1?(?1)n2?0(n为奇数)?2(n为偶数)③ an＝ ? 其中可作为{an}的通项公式的是 A．①
B．①②
（ ）
C．②③ 解：D
D．①②③
例2. 已知数列{an}的前n项和Sn，求通项．⑴ Sn＝3n－2
⑵ Sn＝n2＋3n＋1
解 ⑴ an＝Sn－Sn－1 (n≥2) a1＝S1 解得：an＝?2?3?1?n?1(n?2)(n?1) ⑵ an＝?(n?1)?5?2n?2(n?2)变式训练2：已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ．
解：lg(Sn?1)?n?Sn?1?10n?Sn?10n?1,当n＝1时，a1＝S1＝11；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－10n1＝9·10 n1．故an＝?－
－
(n?1)??11n?1?(n?2)?9?10例3. 根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴ a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)⑵ a1＝1，an＝an?1?3n?1 (n≥2)⑶ a1＝1，an＝
n?1an?1 (n≥2)n解：⑴ an＝2an－1＋1?(an＋1)＝2(an－1＋1)(n≥2)，a1＋1＝2．故：a1＋1＝2n，∴an＝2n－1．
－
－
⑵an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝3n1＋3n2＋…＋33＋3＋1＝(3n?1)．(3)∵
ann?1?an?1n12∴an＝
anan?1an?2an?1n?2?????2?a1???an?1an?2an?3a1nn?1
n?311????1?n?22n变式训练3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝解：方法一：由an＋1＝
1an?1?2an得an?22an(n∈N*)，求该数列的通项公式．an?211111
}是以?1为首项，为公差的等差数列．?，∴{
2an2ana1
∴
121＝1＋(n－1)·,即an＝
n?12an方法二：求出前5项，归纳猜想出an＝
2，然后用数学归纳证明．n?1－
例4. 已知函数f(x)＝2x－2x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n，求数列{an}通项公式．
解：f(log2an)?2log2an?2?log2an??2nan?1??2n得an?n2?1?nan变式训练4.知数列{an}的首项a1＝5．前n项和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N*）．(1) 证明数列{an＋1}是等比数列；
(2) 令f (x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f (x)在点x＝1处导数f 1 (1)．
解：(1) 由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，∴ n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减，得：Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1从而an＋1＋1＝2(an＋1)
当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴ a1＋a2＝2a1＋6,又a1＝5，∴ a2＝11∴
an?1?1＝2，即{an＋1}是以a1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列.an?1(2) 由(1)知an＝3×2n－1
∵ f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn
－
∴ f'(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn1
从而f'(1)＝a1＋2a2＋…＋nan
＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1)＝3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋…＋n)＝3[n×2n1－(2＋…＋2n)]－
＋
n(n?1)2＝3(n－1)·2n1－
＋
n(n?1)＋62归纳小结 1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常
用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.
2．由Sn求an时，用公式an＝Sn－Sn－1要注意n≥2这个条件，a1应由a1＝S1来确定，最后看二者能否统一．
3．由递推公式求通项公式的常见形式有：an＋1－an＝f(n)，累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．
an?1＝f(n)，an＋1＝pan＋q，分别用an第2课时 等差数列
基础过关 1．等差数列的定义： － ＝d（d为常数）．2．等差数列的通项公式：⑴ an＝a1＋ ×d
⑵ an＝am＋ ×d
3．等差数列的前n项和公式：
Sn＝ ＝ ．
4．等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝ ．5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是：
⑴ 数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q(p, q∈R)⑵ 数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn (a, b∈R)
6．等差数列{an}的两个重要性质：
⑴ m, n, p, q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ．
⑵ 数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列． 典型例题 例1. 在等差数列{an}中，
(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60； (2)已知S12＝84，S20＝460，求S28； (3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．
82?a1???a?a?14d?10??3解：(1)方法一：?151 ??a?a?44d?908451??d??3?∴a60＝a1＋59d＝130．
d?方法二：
an?ama45?a1588??，由an＝am＋(n－m)d?a60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝130． n?m45?1533(2)不妨设Sn＝An2＋Bn，