2??A?2?12A?12B?84∴?2 ??B??17?20A?20B?460??∴Sn＝2n2－17n
∴S28＝2×282－17×28＝1092 (3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15， 又S6＝∴15＝而d＝
6(a1?a6)6(a1?10) ?226(a1?10)即a1＝－5 2a6?a1?3 6?1∴a8＝a6＋2 d＝16 S8＝
8(a1?a8)?44 2变式训练1.在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ ． 解：∵d＝a6－a5＝－5， ∴a4＋a5＋…＋a10＝
7(a4?a10)?7(a5?2d)??49 2a21例2. 已知数列{an}满足a1＝2a，an＝2a－（n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝．
an?1an?a⑴ 求证：数列{bn}是等差数列． ⑵ 求数列{an}的通项公式．
a2解：∵ ⑴ an＝2a－ (n≥2)
an?1∴ bn＝
1?an?a1a2a?an?1?an?1 (n≥2)
a(an?1?a)∴ bn－bn－1＝
an?111?? (n≥2)
a(an?1?a)an?1?aa1的等差数列． a∴ 数列{bn}是公差为⑵ ∵ b1＝
11
＝ aa1?a
故由⑴得：bn＝即：
11n＋(n－1)×＝ aaan11＝ 得：an＝a(1＋) anan?aa变式训练2.已知公比为3的等比数列?bn?与数列?an?满足bn?3n,n?N*，且a1?1， （1）判断?an?是何种数列，并给出证明；
（2）若Cn?1，求数列?Cn?的前n项和
anan?1bn?13an?1?a?3an?1?an?3,?an?1?an?1，即 解：1）bn3n?an?为等差数列。
（2）Cn?111111n??,?Sn???1??。 anan?1anan?1a1an?1an?1n?1Sn}前nn例3. 已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{项和。求Tn．
解：设{an}首项为a1公差为d，由
7?6?S?7a?d?771??a1??2?2 ????d?1?S?15a?15?14d?75151?2?∴ Sn＝n2?n ∴
1252Sn15??n? n22S1111??3 ∴Tn＝?n2?n
441变式训练3．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比A．
Sn5n?3a5?，则的值是 （ ） S'n2n?7b528485323 B． C． D． 17252715(a1?a9)?9a2a2?S9?48。 解：B 解析：5?5?b52b5(b?b)?9S925192例4. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：
⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？
⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？ ⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元． 问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？
解：⑴ 设工作年数为n（n∈N*），第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为S2．则：
S1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋…＋1000n ＝500(n＋1)n
S2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋300×2n ＝300(2n＋1)n
由S2>S1，即：300(2n＋1)n>500(n＋1)n 解得：n>2
∴ 从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多． ⑵ 当n＝10时，由⑴得：S1＝500×10×11＝55000 S2＝300×10×21＝63000 ∴ S2－S1＝8000
∴ 在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元． ⑶ 若第二种方案中的300美元改成a美元．
*
则S12＝an(2n＋1) n∈N
∴ a＞＝
500(n?1)250250＝250＋≥250＋ 2n?12n?131000 3变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 解：(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列, 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+
n(n?1)?50=25n2+225n, 2 令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.
到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列, 其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.
由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 归纳小结
1．欲证{an}为等差数列，最常见的做法是证明：an＋1－an＝d(d是一个与n无关的常数)． 2．a1，d是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较
繁．
3．对等差数列{an}的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为－d的等差数列进行求和．
4．遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题．
第3课时 等比数列
基础过关
1．等比数列的定义：
((
)
＝q（q为不等于零的常数）． )
2．等比数列的通项公式： ⑴ an＝a1qn
????－1
⑵ an＝amqn
(q?1) (q?1)－m
3．等比数列的前n项和公式： Sn＝ ?4．等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝ （或b＝ ）．
5．等比数列{an}的几个重要性质：
⑴ m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ．
⑵ Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列． ⑶ 若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝ ． 典型例题 例1. 已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值． 解：∵{an}是等比数列， ∴a1·an＝a2·an－1， ∴??a1?an?66?a?2?a?64，解得?1或?1
?an?64?an?2?a1?an?128－
若a1＝2，an＝64，则2·qn1＝64 ∴qn＝32q
a1(1?qn)2(1?32q)由Sn＝??126，
1?q1?q解得q＝2，于是n＝6
若a1＝64，an＝2，则64·qn1＝2
－
∴qn＝
1q 32由Sn＝
a1(1?q)?1?qn64(1?1q)32?126 1?q
解得q＝，n＝6
变式训练1.已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝ ． 解：64或1 由??a1?a9?64?aa?64 ??37?a3?a7?20?a3?a7?20121a3?4?a?16或? ∴ q2＝或q2＝2，∴ a11＝a7 q2，∴ a11＝64或a11＝1 ??3?2?a7?4?a7?16例2. 设等比数列{an}的公比为q(q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项．
?a1(1?qn)?40??1?q解：若q＝1，则na1＝40，2na1＝3280矛盾，∴ q≠1．∴ ? 2na(1?q)?1?3280?1?q?两式相除得：qn＝81，q＝1＋2a1 又∵q>0，∴ q>1，a1>0 ∴ {an}是递增数列． ∴ an＝27＝a1qn1＝
－
a1?81 1?2a1解得 a1＝1，q＝3，n＝4
变式训练2.已知等比数列{an}前n项和Sn＝2n－1，{an2}前n项和为Tn，求Tn的表达式． 解：(1) ∵a1＋2a22＝0，∴公比q＝又∵S4－S2＝，
将q＝－代入上式得a1＝1， ∴an＝a1qn1＝(－) n
－
a21?? a12181212－1
(n∈N*)
(2) an≥
11 n－114
≥() ?(－)
1622?n≤5
∴原不等式的解为n＝1或n＝3或n＝5．
例3. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
(a?d)2解：设这四个数为a－d，a，a＋d，
a?(a?d)2?16?a?d?依题意有：? a?a?a?d?12?