解得：??a?4?a?9 或 ? d?4d??6??∴ 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
变式训练3.设Sn是等差数列?an?的前n项和，S6?36,Sn?324,Sn?6?144(n?6)，则n等于（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
答案： D。解析：由Sn?324,Sn?6?144得an?an?1?an?2?an?3?an?4?an?5?180，再由S6?326,?a1?an?36,?Sn?n(a1?an)?324,?n?18。 2例4. 已知函数f(x)＝(x－1)2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列(q≠1)，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)，b1＝f(q－1)，b3＝f(q＋1)， (1) 求数列{an}，{bn}的通项公式； (2) 设数列{cn}对任意的自然数n均有：
cc1c2????n?(n?1)an?1，求数列{cn}前n项和Sn． b1b2bn解：(1) a1＝(d－2)2，a3＝d2，a3－a1＝2d 即d2－(d－2)2＝2d，解之得d＝2 ∴a1＝0，an＝2(n－1)
又b1＝(q－2)2，b3＝q2，b3＝b1q2 即q2＝(q－2)2 q2，解之得q＝3 ∴b1＝1，bn＝3n1
－
(2)
Cn?(n?1)an?1?nan?4n,cn?4n?3n?1 bnSn＝C1＋C2＋C3＋…＋Cn
＝4(1×3°＋2×31＋3×32＋…＋n×3 n1)
－
'?1×3°＋2×3′设Sn＋3×32＋…＋n×3 n1
－
123 n'?1×3＋2×3＋3×3＋…＋n×3 3Sn2
3
n－1
'?1＋3＋3＋3＋…＋3－2Sn1(3n?1)－n×3＝2－3 n·n
n
'Snnn3n?1 ??3?24∴Sn＝2n·3n－3n＋1
变式训练4.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是 等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项． ⑴求数列{an}与{bn}的通项公式；
⑵设数列{cn}对任意正整数n，均有值．
cc1c2c3??????n?an?1，求c1＋c2＋c3＋…＋c2007的b1b2b3bn－
解：⑴由题意得（a1＋d）(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d>0) 解得d＝2，∴an＝2n－1，bn＝3n1． ⑵当n＝1时，c1＝3 当n≥2时，∵
cn?3(n?1) 故cn?2?3n?1 ?an?1?an,∴cn??n?1bn?2?3(n?2)?c1?c2???c2007?3?2?3?2?32???2?32006?32007
归纳小结 a1(1?qn)1．在等比数列的求和公式中，当公比q≠1时，适用公式Sn＝，且要注意n表示项数；
1?q当q＝1时，适用公式Sn＝na1；若q的范围未确定时，应对q＝1和q≠1讨论求和． 2．在等比数列中，若公比q > 0且q≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．
3．若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设
(x?d)2这四个数，一般是设为x－d，x，x＋d，再依题意列出方程求x、d即可．
x4．a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量．
第4课时 等差数列和等比数列的综合应用
基础过关 1．等差数列的常用性质：
⑴ m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有 ．
⑵ {an}是等差数列， 则{akn} (k∈N*，k为常数)是 数列． ⑶ Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成 数列．
2．在等差数列中，求Sn的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值． ⑴ a1> 0，d <0时，解不等式组 ? ?⑵ a1<0，d>0时，解不等式组 ? 3．等比数列的常用性质：
⑴ m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有 ． ⑵ {an}是等比数列，则{a2n}、{
1}是 数列． an????an?0可解得Sn达到最 值时n的值．
?an?1?0可解得Sn达到最小值时n的值．
⑶ 若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成 数列． 典型例题
例1. 是否存在互不相等的三个实数a、b、c，使它们同时满足以下三个条件： ① a＋b＋c＝6
② a、b、c成等差数列．
③ 将a、b、c适当排列后成等比数列． 解：设存在这样的三位数a，b，c．
由a＋b＋c＝6，2b＝a＋c 得：b＝2，a＋c＝4
① 若b为等比中项，则ac＝4，∴ a＝c＝2与题设a≠c相矛盾． ② 若a为等比中项，则a2＝2c，则a＝c＝2(舍去)或a＝－4，c＝8． ③ 若c为等比中项，则c2＝2a，解得c＝a＝2(舍去)或c＝－4，a＝8． ∴存在着满足条件的三个数：－4，2，8或8，2，－4．
111变式训练1.若a、b、c成等差数列，b、c、d成等比数列，,,成等差数列，则a、c、e成
cde（ ）
A．等差数列 B．等比数列 C．既成等差数列又成等比数列 D．以上答案都不是
a?c2112c22答案：B。解析：由2b?a?c,?b?，由c?bd,?d?，由??,
2dcea?c∴
a?cc?e?,?c2?ae，即a,c,e成等比数列。 2cce1}满足a2a4＋a4a6＋a6a2＝1，a2，a4，a8依次成等比数列，an例2. 已知公差大于0的等差数列{求数列{an}的通项公式an． 解：设{∴(∴(
1111}的公差为d(d＞0)，由a2，a4，a8成等比数列可知，，也成等比数列， ana2a4a81211)＝· a4a2a8111＋3d)2＝(＋d)(＋7d) a1a1a1d1，∴＝d a1a1化简得d2＝
又a2a4＋a4a6＋a6a2＝1化简为
1111＋＋＝ a2a4a6a2a4a6∴3·∴
111＝· a4a2a6a41111·＝3，即(＋d)(＋5d)＝3 a2a6a1a1
1211＝ 2a12d·6d＝3 ∴d＝，∴
n11＝＋(n－1)d＝
2ana1∴an＝
2 n111b?ca?ca?b,,成等差数列，求证：,,也成等差数列。 abcabc111211解析：由,,成等差数列，则??,?2ac?b(a?c),
abcbac变式训练2.已知
b?ca?b(b?c)?c?a(a?b)bc?c2?a2?abb(a?c)?a2?c2(a?c)22(a?c)∴ ??????acacacacacb即
b?ca?ca?b成等差数列。 ,,abc例3. 已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．求证：△ABC是等边三角形．
解：由2B＝A＋C，且A＋B＋C＝180°，B＝60°，由a、b、c成等比数列，有b2＝ac
1a2?c2?b2a2?c2?accosB＝＝＝
22ac2ac得(a－c)2＝0，∴ a＝c ∴△ABC为等边三角形．
变式训练3.若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且
a?3b?c?10，则a= （ ）
A.4 B.2 C.-2 D.-4
?a?c?2b,?2?答案： D.解析：依题意有?bc?a,?a?3b?c?10.??a??4,??b?2, ?c?8.?13例4. 数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3…… 求：⑴ a2、a3、a4的值及{an}的通项公式； ⑵ a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值.
解析：(1)由a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3，…得a2＝S1＝a1＝，a3＝S2＝(a1＋a2)＝，a4＝S3＝(a1＋a2＋a3)＝
131349131316 27131313131313由an＋1－an＝(Sn－Sn－1)＝an(n≥2)，得an＋1＝an(n≥2)，又a2＝，∴an＝·()n2(n≥2)
－
43131343?1n?1∴ {an}通项公式为an＝??1?(4)n?2n?2
??33(2) 由(1)可知a2、a4、…a2n是首项为，公比为()2，项数为n的等比数列.
1343
41?()2n13∴ a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝× 31?(4)23＝[()2n－1]
变式训练4.设数列?an?的前n项的和Sn?求首项a1与通项an。 解析：（I）a1?S1?3743412an??2n?1?，n?1,2,3...... 333所以数列所以：
412a1??22?，解得：a1?2 333441an?1?Sn?1?Sn?an?1?an??2n?2?2n?1??a?2n?1?4?a?2n?n?1n333
n?an?2?是公比为4的等比数列
an?2n??a1?21??4n?1nn得：an?4?2 （其中n为正整数）
归纳小结 1．在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差（或等比）时，可用性质：m、n、p、r∈N*，若m＋n＝p＋r，则am＋an＝ap＋ar（或am·an＝ap·ar）进行解答．
2．若a、b、c成等差（或等比）数列，则有2b＝a＋c（或b2＝ac）．
3．遇到与三角形相关的问题时，一般要注意运用正弦定理（或余弦定理）及三角形内角和等于180°这一性质．
4．在涉及an与Sn相关式子中用Sn－1和Sn的关系表示an时应该注意“n≥2”这个特点．
第5课时 数列求和
基础过关 求数列的前n项和，一般有下列几种方法： 1．等差数列的前n项和公式： Sn＝ ＝ ． 2．等比数列的前n项和公式： ① 当q＝1时，Sn＝ ． ② 当q≠1时，Sn＝ ．
3．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．
4．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．