5．裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列． 典型例题 1?1??11??111??11例1. 已知数列：1，??1??，?1???，?1????，…，?1?????，求它的前n
?2??24??248??项的和Sn．
解：∵ an＝1＋1＋1＋……＋
1242n?1
1?1＝2n?2??1?1?n＝2－11?1?2n?? ∴a2n?1
2则原数列可以表示为：
(2－1)，??1??1??1??1??2?2??，??2?22??，??2?23??，…??2?2n?1??
前n项和Sn＝(2－1)＋??1??1??1??2?2??＋??2?22??＋…＋??2?2n?1??
＝2n－??1?111?2?22????2n?1?? 1?1＝2n－2n＝2n－2??1?1?1?1?2n?? 2＝
12n?1＋2n－2
变式训练1.数列11,2124,318,4116,?前n项的和为 （ A．1n2?n1n2?n2n?2 B．?2n?2?1 1n2?n1n2C．?22 D． ??nn?2n?1?2
答案:B。解析：S?1?2?3?4??n?1?11n(n?1)1n222??2n?2?1?2n 例2. 求Sn＝1＋11?2＋11?2?3＋…＋11?2?3?...?n． 解：∵ an＝11?2?3???n＝2n(n?1)
＝2(
11n－n?1) ∴ Sn＝2(1－12＋112－13＋…＋
n－1n?1)＝2nn?1
242n?1? ）
变式训练2：数列{an}的通项公式是an＝ A．11 B．99 C．120 D．121 解：C .an＝
1n?n?11n?n?1，若前n项之和为10，则项数n为（ ）
＝n?1?n，
∴Sn＝n?1?1，由n?1?1＝10，∴n?1＝11， ∴n＝11
例3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(项和Tn．
解：取n＝1，则a1＝(又Sn＝
a1?12)?a1＝1 2an?122n，求数列{bn}的前n)(n?N*)，bn＝an·
2n(a1?an)n(a?a)a?1可得：1n＝(n)2
222∵an≠－1(n∈N*) ∴an＝2n－1
∴Tn＝1·2＋3·22＋5·23＋……＋(2n－1)·2n ① 2Tn＝1·22＋3·23＋5·24＋……＋(2n－1)·2n1②
＋
①－②得：
∴－Tn＝2＋23＋24＋25＋……＋2n1－(2n－1)·2n1
＋
＋
＝2＋
23(1?2n?1)＋＋
－(2n－1)·2n1＝－6＋(1－n)·2n2
1?2＋
∴Tn＝6＋(n－1)·2n2
变式训练3.设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1. ⑴ 求数列{an}和{bn}通项公式． ⑵ 设Cn＝
an，求数列{Cn}前n项和Tn ． bn解：（1）当n＝1时a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－2，故{an}通项公式为an＝4n－2，即{an}是a1＝2，d＝4的等差数列，设{bn}的公比为q，则b1qd＝b1，d＝4，∴ q＝，故bn＝b1qn1＝
－
1424n?1
an4n?2＝?(2n?1)4n?1
2bn4n?1－
（2）∵Cn＝
∴Tn＝C1＋C2＋…＋Cn＝1＋3×4＋5×42＋…＋（2n－1）4n1 ∴4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋（2n－3）4nn＋（2n－1）4n
1n两式相减 3Tn＝[(6n?5)4?5]
3－
∴ Tn＝[(6n?5)4n?5]．
例4. 求Sn＝1!＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！． 解： an＝n·n!＝(n＋1)!－n! ∴ Sn＝(n＋1)!－1!＝(n＋1)!－1
变式训练4.以数列{an}的任意相邻两项为坐标的点Pn(an、an＋1)均在一次函数y＝2x＋k的图象上，数列{bn}满足条件：bn＝an＋1－an，且b1≠0． ⑴ 求证：数列{bn}为等比数列．
⑵ 设数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若S6＝T4，S5＝－9，求k的值． 解：⑴由题意，an＋1＝2an＋k ∴ bn＝an＋1－an＝2an＋k－an＝an＋k bn＋1＝an＋1＋k＝2an＋2k＝2bn ∵ b1≠0，∴
bn?1＝2 bn19∴ {bn}是公比为2的等比数列． ⑵ 由⑴知an＝bn－k ∵ bn＝b1·2n1 ∴ Tn＝
－
b1(1?2n)?b1(2n?1) 1?2 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(b1＋b2＋…＋bn)－nk ＝Tn－nk＝b1(2n－1)－nk
S6?T463b1?6k?15b1∵ ? ∴ ? ???S5??9?31b1?5k??9解得：k＝8
1．求和的基本思想是“转化”．其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式；其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和．
2．对通项中含有(－1)n的数列，求前n项和时，应注意讨论n的奇偶性．
3．倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法，在复习中应给予重视． 归纳小结
数列章节测试题
一、选择题：
1．数列2,5,22,11,…,则25是该数列的（ ）
A．第6项 B．第7项 C．第10项 D．第11项 2．方程x2?6x?4?0的两根的等比中项是（ ）
A．3 B．?2 C．?6 D．2
3．已知等差数列?an?满足a2?a4?4，a3?a5?10，则它的前10项的和S10?（ ） A．138
B．135
C．95
D．23
4、已知等比数列?an?的前三项依次为a?1，a?1，a?4，则an?
?3??2??3?A．4??? B．4??? C．4????2??3??2?nnn?1?2? D．4????3?n?1
5．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18 6、若等差数列{an}的前5项和S5?25，且a2?3，则a7?（ ） （A）12 （B）13 （C）14 （D）15 7、在数列{an}中，a1?2， an?1?an?ln(1?)，则an? （ ）
A．2?lnn B．2?(n?1)lnn C．2?nlnn D．1?n?lnn
1nSn5n?3a8．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比'?，则5的值是（ ）
Sn2n?7b5A．
28235348 B． C． D． 171527259．{an}是等差数列，S10?0,S11?0，则使an?0的最小的n值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 10、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案 则第n个图案中有白色地面砖的块数是（ ）
第1个 第2个 第3个
A. 3n?3 C.2n?4
B.4n?2
D. 4n?2
11.若数列1,2cos?,22cos2?,23cos3?,??,前100项之和为0，则?的值为（ ） A. k???3(k?Z) B. 2k???3(k?Z) C. 2k??2?(k?Z) D.以上的答案均不对 312.设2a=3,2b=6,2c=12,则数列a,b,c成
A.等差 B.等比 C.非等差也非等比 D.既等差也等比 二、填空题
13、设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= . 14、由正数构成的等比数列{an}，若a1a3?a2a4?2a2a3?49，则a2?a3? ．
15．已知数列?an?的前n项和为Sn?n2,某三角形三边之比为a2:a3:a4，则该三角形最大角为 ．
16、给定an?log(n?1)(n?2)（n∈N*），定义乘积a1?a2???ak为整数的k（k∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2008]内的所有理想数的和为 ． 三、解答题
17、已知函数f(x)是一次函数，且f(8)?15,f(2),f(5),f(14)成等比数列，设an?f(n)，(n?N)（1）求
18、数列{an}的前n项和记为Sn，a1?1,an?1?2Sn?1?n?1? （1）求{an}的通项公式;
（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b1,a2?b2,a3?b3成等比数列，求Tn
19、假设某市2004年新建住房400万m，其中有250万m是中低价房。预计在今后的若干
22?（2）设b?a；
ii?1nn?2n，求数列{anbn}的前n项和Sn。