APDBE图4
QC
【答案】2或
14 310．（2011江苏盐城，15，3分）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图
示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是 ▲ ． ADBC
【答案】等腰梯形 三、解答题
1. （2011安徽芜湖，21，8分）如图，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC, BD平分
??ABC,?A?60.过点D作DE?AB，过点C作CF?BD，垂足分别为E、F，连接EF，
求证：△DEF为等边三角形. 【答案】
证明:因为DC‖AB，AD?BC,?A?60，所以?ABC??A?60. 又因为BD平分?ABC，所以?ABD??CBD????1? ………………2分 ?ABC?30.2因为DC‖AB，所以?BDC??ABD?30，所以?CBD??CDB, 所以CB?CD. 4分 因为CF?BD，所以F为BD中点，又因为DE?AB，所以DF?BF?EF. ……6分 由?ABD?30，得?BDE?60，所以△DEF为等边三角形. ………………8分 2. （2011山东菏泽，17（2），7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，
?? - 6 -
AD=1，BC=4， E为AB中点，EF∥DC交BC于点F， 求EF的长． A DE B F C
【答案】解：过点A作AG∥DC，∵AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形， ∴GC=AD，
∴BG=BC－AD=4－1=3， 在Rt△ABG中，
AG=2BG2?32， ∵EF∥DC∥AG， ∴
∴EF=
EFAG?BEAB?12，
132． AG?223. （2011山东泰安，27 ，10分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC.
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图①），求证：△AOE∽△COF （2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE于点G（如图②），求证：四边形EFDG是菱
形。
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【答案】证明：∵点E是BC的中点，BC=2AD
∴EC=BE=1BC=AD
2
又∵AD∥EC
∴四边形AECD为平行四边形 ∴AE∥DC
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO ∴△AOE∽△COF （2）证明：连接DE ∵AD∥BE ，AD=BE ∴四边形ABED是平行四边形 又∠ABE=900 ∴□ABED是矩形
11
∴GE=GA=GB=GD=BD=AE
22∵E、F分别是BC、CD的中点 ∴EF、GE是△CBD的两条中位线 11
∴EF=BD=GD，GE=CD=DF
22又GE=GD∴EF=GD=GE=DF 则四边形EFDG是菱形
4. （2011四川南充市，17，6分）如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC,点E,F在BC上，且BE=CF,连接DE,AF. 求证：DE=AF.
ADBEFC
【答案】证明：∵BE=FC ∴BE+EF=FC+EF,即BF=CE ∵四边形ABCD是等腰梯形
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∴AB=DC ∠ B=∠C 在⊿DCE和⊿ABF中， DC=AB ∠B=∠C CE=BF
∴⊿DCE≌⊿ABF(SAS) ∴DE=AF
5. （2011四川南充市，21，8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。
（1）求证：⊿MDC是等边三角形；
（2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值.
AD'EC'FDBMC
【答案】（1）证明：过点D作DP⊥BC,于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q,
∵∠C=∠B=600 ∴CP=BQ=
1AB,CP+BQ=AB 2又∵ADPQ是矩形，AD=PQ,故BC=2AD, 由已知，点M是BC的中点， BM=CM=AD=AB=CD,
即⊿MDC中，CM=CD, ∠C=600,故⊿MDC是等边三角形.
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（2）解：⊿AEF的周长存在最小值，理由如下：
连接AM,由（1）平行四边形ABMD是菱形，⊿MAB, ⊿MAD和⊿MC′D′是等边三角形， ∠BMA=∠BME+∠AME=600, ∠EMF=∠AMF+∠AME=600
∴∠BME=∠AMF）
在⊿BME与⊿AMF中，BM=AM, ∠EBM=∠FAM=600 ∴⊿BME≌⊿AMF(ASA)
∴BE=AF, ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB
∵∠EMF=∠DMC=600 ,故⊿EMF是等边三角形，EF=MF. ∵MF的最小值为点M到AD的距离3，即EF的最小值是3. ⊿AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF, ⊿AEF的周长的最小值为2+3.
6. （2011浙江杭州，22， 10)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝
2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F． (1)求证：△FOE≌ △DOC； (2)求sin∠OEF的值；
(3)若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求
AB?CD的值．
GH
【答案】(1)证明：∵E，F分别为线段OA，OB的中点，∴EF∥AB，AB＝2EF，∵AB＝2CD，
∴EF＝CD，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠OEF＝∠OCD，∠OFE＝∠ODC，∴△FOE≌
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