△DOC；，
(2) 在△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴AC?AB2?BC2?(2BC)2?BC2?5BC，
BC55．∵EF∥AB，∴∠OEF＝∠CAB，∴sin?OEF?sin?CAB? ?AC55CE2 (3) ∵△FOE≌ △DOC，∴OE＝OC，∵AE＝OE，AE＝OE＝OC，∴?．∵EF∥AB，
CA3EHCE2CE24∴△CEH∽△CAB，∴??，∴EH??AB?CD，∵EF＝CD，
ABCA3CA334∴EH?EF
3AB?CD2CD?CD91115?? FH?EF?CD，同理GE?CD，∴GH?CD，∴
5GH53333CD3sin?CAB?7. （2011浙江温州，18，8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点M是AB的中点． 求证：△A DM≌△BCM.
【答案】证明：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，
∴AD＝BC，∠A＝∠B， ∵点M是AB的中点， ∴ MA＝MB，
∴△ADM≌△BCM
8. （2011四川重庆，24，10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD ＝2，
BD⊥CD ．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F．点G为BC中点，连结EG、AF．
(1)求EG的长；
(2)求证：CF ＝AB ＋AF．
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【答案】 (1) 解∵BD⊥CD，∠DCB＝45°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°， ∴CD＝DB＝2，∴CB＝DB2+CD2＝22，
1
∵CE⊥AB于E，点G为BC中点，∴EG＝CB＝2．
2
(2)证明：证法一：延长BA、CD交于点H，∵BD⊥CD，∴∠CDF＝∠BDH＝90°， ∴∠DBH＋∠H＝90°，∵CE⊥AB于E，∴∠DCF＋∠H＝90°，
∴∠DBH＝∠DCF，又CD＝BD，∠CDF＝∠BDH，∴△CDF≌△BDH(ASA)， DF＝DH， CF＝ BH＝BA＋AH，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45°， ∠HDA＝∠DCB＝45°，∴∠ADF＝∠HAD，又DF＝DH，DA＝DA， ∴△ADF≌△ADH(SAS)，∴AF＝AH， 又CF＝BH＝BA＋AH ，∴CF＝AB＋AF． 证法二：在线段 DH上截取CH=CA，连结DH．
∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF＋∠EFB＝90°，∠DCF＋∠DFC＝90°． 又∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF． 又BD=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD． ∴AD=HD，∠ADB=∠HDC．
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又AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°．
∴∠HDC＝45°．∴∠HDB＝∠BDC－∠HDC＝45°． ∴∠ADB＝∠HDB．
又AD=HD， DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF＝HF． ∴CF＝CH＋HF=AB＋AF．
9. （2011湖南邵阳，19，8分）在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连结EF，FG，GH，HE。
（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；
（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形。（写出你所添加的条件，不要求证明）
【答案】解：（1）四边形EFGH是平行四边形。证明如下： 连结AC，BD，由E，F，G，H分别是所在边的中点， 知EF∥AC，且EF=
11AC，GH∥AC，且GH=AC， 22∴GH∥EF，且GH=EF，四边形EFGH是平行四边形。
10．（2011湖南益阳，15，6分）如图6，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD =DC，
求证：AC是∠DAB的平分线．
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D C A 图6
B
【答案】解：∵AB??CD， ∴?CAB??DCA.
∵AD?DC，∴?DAC??DCA . ∴?DAC??CAB ， 即AC是?DAB的角平分线.
11. （2011湖南益阳，21，12分）图10是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．
（1）证明：△ABE≌△CBD；
（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；
（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论； （4）求线段BD的长．
E
D
A
M N
C
B
图10
【答案】⑴证明：??ABC是等边三角形 ，
?AB?BC，?BAC??BCA?60?．
?四边形ACDE是等腰梯形，?EAC＝60?，
?AE?CD，?ACD??CAE?60?，
??BAC+?CAE?120???BCA+?ACD， 即?BAE??BCD．
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AB?CB，??在?ABE和?BCD中??BAE??BCD，??ABE??CBD．
?AE?CD.?⑵答案不唯一．如?ABN∽?CDN．
证明：??BAN?60???DCN，?ANB??DNC，
??ANB∽?CND ．
其相似比为：
⑶ 由（2）得
1同理AM?AC.
3AB2??2． DC1ANAB11??2，?CN?AN?AC． CNCD23?AM?MN?NC． ⑷作DF?BC交BC的延长线于F，
??BCD?120?，??DCF?60?．
11在Rt?CDF中，??CDF?30?，?CF?CD?，
223?1??DF?CD?CF?1????．
2?2?2222在Rt?BDF中，BF?BC?CF?2??,DF?2?5??3?22 ?BD?BF?DF????????7． 2?2????212523， 2
12. （2011江苏苏州，23,6分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E.
（1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数.
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