【答案】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC. 又∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠A=∠CEB. 在△ABD和△ECB中，
??A??CEB???ADB??EBC ?BD?CB?∴△ABD≌△ECB.
（2）解法一：∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠EDC=65°. 又∵CE⊥BD，∴∠CED=90°. ∴∠DCE=90°-∠EDC=25°.
解法二：∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠BCD=65°. 又∵∠BEC=90°，∴∠BCE=40°. ∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=25°.
13. （2011湖北黄石，19，7分）如图（6），在中，AD∥BC，AB＝DC，E是BC的中点，
连接AE，DE，求证：AE＝DE
【答案】证明：∵梯形ABCD是等腰梯形
∴∠B＝∠C ∵E是BC的中点 ∴BE＝EC
在△ABE的△DCE中
AB＝DC ∠B＝∠C BE＝EC ∴△ABE≌△DCE ∴AE＝DE
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【答案】(1)证明：如图，∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC ， ∴∠BAD＝∠ABE，
又∵AB＝BA、∠2＝∠1， ∴△ABD≌△BAE(ASA)， ∴BD＝AE，又∵∠１＝∠２，∴OA＝OB， ∴BD－OB＝AE－OA，即：OD＝OE．·
(2) 证明：由(1)知：OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，
∴∠OED＝
1(180?－∠DOE)， 21(180?－∠AOB)， 2同理：∠1＝
又∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB，
∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD与BE不平行， ∴四边形ABED是梯形， 又由(1)知∴△ABD≌△BAE，∴AD＝BE ∴梯形ABED是等腰梯形．
(3)解：由(2)可知：DE∥AB，∴△DCE∽△ACB，
∴
?DCE的面积DE22DE21?()，即：?()?，
?ACB的面积3DE9?ACB的面积AB∴△ACB的面积＝18，
∴四边形ABED的面积＝△ACB的面积－△DCE的面积＝18－2＝16 ．
15. （2011山东东营，19，8分）(本题满分8分)如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，
- 17 -
∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30；延长CD到点E，连接AE，使得∠E=
?1∠C。 2
（1）求证:四边形ABDE是平行四边形；
（2）若DC=12，求AD的长。
【答案】（1）证明：∵∠ABC=120°，∠C=60°，∴∠ABC+∠BCD=180° ∴AB∥DC。即AB∥ED。
1又∵∠C=60°，∠E=2∠C，∠BDC=30°
∴∠E=∠BDC=30° ∴AE∥BD 所以 四边形ABDE是平行四边形 （2）解：由第（1）问，AB∥DC。 ∴四边形ABCD是梯形。 ∵DB平分∠ADC，∠BDC=30° ∴∠ADC=∠BCD=60° ∴四边形ABCD是等腰梯形 ∴ BC=AD
∵ 在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30° ∴ ∠DBC=90°。又已知DC=12
1∴AD=BC=2DC=6
16. （2011重庆市潼南,24,10分） 如图,在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.
⑴ 求证：AD=AE；
⑵ 若AD=8，DC=4，求AB的长.
DCEA24题图分 【答案】解：（1）连接AC -------------------------------1
B - 18 -
∵AB∥CD ∴∠ACD=∠BAC ∵AB=BC ∴∠ACB=∠BAC
∴∠ACD=∠ACB --------------------------------2分 ∵AD⊥DC AE⊥BC ∴∠D=∠AEC=900
∵AC=AC --------------------------------3分 ∴△ADC≌△AEC -------------------------------4分 ∴AD=AE --------------------------------5分
DCEAB24题图
（2）由（1）知：AD=AE ，DC=EC
设AB＝x, 则BE=x－4 ，AE=8 -----------------------6分 在Rt△ABE中 ∠AEB=900
由勾股定理得： 8?(x?4)?x ----------------------8分 解得：x=10
∴AB=10 ----------------------10分
17. （2011山东枣庄，24，10分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB?AD?6，
222DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．
（1）证明：EF?CF； （2）当tan?ADE?1时，求EF的长． 3 - 19 -
A E
D
B
F
C
解：（1）过D作DG⊥BC于G．
由已知可得，四边形ABGD为正方形． …………１分 ∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC ． ………………………3分 又∵∠A=∠DGC，且AD=GD， ∴△ADE≌△GDC ．
∴DE=DC，且AE=GC． ……………………4分 在△EDF和△CDF中，
∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边， ∴△EDF≌△CDF．
∴EF=CF ． ………………………………………………6分
A E D B
F G C
（2）∵tan∠ADE=
AE1=， ∴A． ………………7分 E?GC?2AD3设E，BE=6－2=4. F?x，则BF?8?CF?8?x由勾股定理，得 x?． (8?x)?4解之，得 x?5， 即EF?5． ……………………10分
222 - 20 -