A．物体在某秒末的速度一定是该秒初的速度的2倍? B．物体在某秒末的速度一定比该秒初的速度大2 m/s? C．物体在某秒初的速度一定比前秒末的速度大2 m/s? D．物体在某秒末的速度一定比前秒初的速度大2 m/s
12．跳伞运动员做低空跳伞表演，当飞机离地而某一高度静止于空中时，运动员离开飞机自由下落，运动一段时间后打开降落伞，展伞后运动员以5m/s2的加速度匀减速下降，则在运动员减速下降的任一秒内( CD ) A．这一秒末的速度比前一秒初的速度小5m/s B．这一秒末的速度是前一秒末的速度的0.2倍 C．这一秒末的速度比前一秒末的速度小5m/s D．这一秒末的速度比前一秒初的速度小10m/s
13．一质点从静止开始以1m/s2的加速度匀加速运动，经5s后做匀速运动，最后2s的时间质点做匀减速运动直至静止，则质点匀速运动时的速度是2.5m/s。减速运动时的加速度是5m/s2。
第二节 匀速直线运动的位移与时间的关系 一、匀速直线运动的位移
我们先从最简单的匀速直线运动的位移与时间的关系人手，讨论位移与时间的关系．我们取初始时刻质点所在的位置为坐标原点．则有t时刻原点的位置坐标工与质点在o～t一段时间间隔内的位移相同．得出位移公式x＝vt．请大家根据速度一时间图象的意义，画出匀速直线运动的速度一时间图象．
画出一质点做匀速直线运动的速度一时间图象．如图2—3—1和2—3—2所示．
问：结合自己所画的图象，求图线与初、末时刻线和时间轴围成的矩形面积． 答：正好是vt．
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问：当速度值为正值和为负值时，它们的位移有什么不同?
答：当速度值为正值时，x＝vt>O，图线与时间轴所围成的矩形在时间轴的上方．当速度值为负值时，x＝vt 在“探究小车的运动规律”的测量记录中，某同学得到了小车 位置编号 时间t／s 0 0 1 0．1 0．63 2 0．2 3 0．3 4 0．4 5 0．5 速度v／(m·s—1) 0．38 0．88 1．11 1．38 1．62 在0，1，2，3，4，5几个位置的瞬时速度．如下表： 问：能否根据表中的数据，估算实验中小车从位置0到位置5的位移? 答：在估算的前提下，我们可以用某一时刻的瞬时速度代表它附近的一小段时间内的平均速度，当所取的时间间隔越小时，这一瞬时的速度越能更准确地描述那一段时间内的平均运动快慢．用这种方法得到的各段的平均速度乘以相应的时间间隔，得到该区段的位移x＝vt，将这些位移加起来，就得到总位移． 问：当我们在上面的讨论中不是取0．1s时，而是取得更小些．比如0．06s，同样用这个方法计算，误差会更小些，若取0．04 s，0．02 s??误差会怎样? 答：误差会更小．所取时间间隔越短，平均速度越能更精确地描述那一瞬时的速度，误差也就越小． 讨论：下面我们采用微分思想方法研究匀加速直线运动的速度一时间图象． 一物体做匀变速直线运动的速度一时间图象，如图2—3—4中甲所示． 问：请同学们思考这个物体的速度一时间图象，用自己的语言来描述该物体的运动情况．答：该物体做初速度为v0的匀加速直线运动． 12 问：我们模仿刘徽的“割圆术”做法，来“分割”图象中图线与初、末时刻线和时间轴图线所围成的面积．请大家讨论． 答：（1）我们先把物体的运动分成5个小段，例如t/5算一个小段，在v—t图象中，每小段起始时刻物体的瞬时速度由相应的纵坐标表示(如图乙)． （2）我们以每小段起始时刻的速度乘以时间t/5近似地当作各小段中物体的位移，各位移可以用一个又窄又高的小矩形的面积代表．5个小矩形的面积之和近似地代表物体在整个过程中的位移． （3）我们是把物体的运动分成了10个小段． 问：请大家对比不同组所做的分割，当它们分成的小段数目越长条矩形与倾斜直线间所夹的小三角形面积越小．这说明什么? 答：就像刘徽的“割圆术”，我们分割的小矩形数目越多，小矩形的面积总和越接近于倾斜直线下所围成的梯形的面积． 当然，我们上面的做法是粗糙的．为了精确一些，可以把运动过程划分为更多的小段，如图丙，用所有这些小段的位移之和，近似代表物体在整个过程中的位移．从v—t图象上看，就是用更多的但更窄的小矩形的面积之和代表物体的位移． 可以想象，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和，就能准确地代表物体的位移了．这时，“很多很多”小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了，这些小矩形合在一起组成了一个梯形OABC，梯形OABC的面积就代表做匀变速直线运动物体在0(此时速度是v0)到t(此时速度是v)这段时间内的位移． 教师引导学生分析求解梯形的面积，指导学生怎样求梯形的面积． 生：在图丁中，v—t图象中直线下面的梯形OABC的面积是 S=(OC+AB)XOA/2 把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成x＝(Vo+V)t/2 把前面已经学过的速度公式v＝v0+at代人，得到x＝vot+at2/2 这就是表示匀变速直线运动的位移与时间关系的公式。这个位移公式虽然是在匀加速直线运动的情景下导出的，但也同样适用于匀减速直线运动。在公式x＝vot+at2/2中，有起始时刻的初速度vo，有t时刻末的俊置x(t时间间隔内的位移)，有匀变速运动的加速度a，有时间间隔t。公式中有三个矢量，除时间t外，都是矢量． 13 物体做直线运动时，矢量的方向性可以在选定正方向后，用正、负来体现．方向与规定的正方向相同时，矢量取正值，方向与规定的负方向相反时，矢量取负值．一般我们都选物体的运动方向或是初速度的方向为正． 在匀减速直线运动中，如刹车问题中，尤其要注意加速度的方向与运动相反． 如图，在图上形象地标出了初速度、速度的变化量， 请大家从图象上用画斜线部分的面积表示位移来进一步加深对公式的理解： at(是o～t时间内的速度变化量△v，就是图上画右斜线部分的三角形的高，而该三角形的底恰好是时间间隔t，所 以该三角形的面积正好等于1/2·at· t=at2/2。该三角形下画左斜线部分的矩形的宽正好是初速度vo，而长就是时间间隔t，所以该矩形的面积等于v0t．于是这个三角形和矩形的“面积”之和，就等于这段时间间隔t内的位移(或t时刻的位置)．即x＝vot+at2/2．类似的，请大家自己画出一个初速度为vo的匀减速直线运动的速度图象，从中体会：图象与时间轴所围成的梯形“面积”可看作长方形“面积”v0t与三角形“面积”1/2·at· t=at2/2之差． 例1、 一质点以一定初速度沿竖直方向抛出，得到它的速度一时间图象如图2—3—6所示．试求出它在前2 s内的位移，后2 s内的位移，前4s内的位移． 答案：前2s内物体的位移为5 m，前4s内的位移为零． 解：由速度一时间图象可以用图线所围成的面积求物体的位移．前2s内物体的位移为5 m，大小等于物体在前2 s内图线所围成的三角形的面积．前4s内的位移为前2s内的三角形的面积与后2 s内的三角形的面积之“和”，但要注意当三角形在时间轴下方时，所表示的位移为负．所以这4s内的位移为两个三角形的面积之差,由两个三角形的面积相等，所以其总位移为零． 例2、如图2—3—7所示，初速度为负值的匀减速直线运动，位移由两部分组成:t1时刻之前位移x1为负值；t2时刻之后位移x2为正值；故在0～t2时间内总位移x＝｜x2｜一｜x1｜ 14 若x>0，说明这段时间内物体的位移为正；若x<0，说明这段时间内物体的位移为负． 例3、 一质点沿一直线运动，t＝o时，位于坐标原点，图2—3—8为质点做直线运动的速度一时间图象．由图可知： (1)该质点的位移随时间变化的关系式是:x＝一4t+0.2t2. (2)在时刻t= 10s时，质点距坐标原点最远． (3)从t＝0到t＝20 s内质点的位移是0；通过的路程是40 m; 解：由图象可知v0＝一4m／s，斜率为0．4，则 x＝vot+at2/2＝一4t+0.2t2，物体10s前沿负方向运动，10s后返回，所以10s时距原点最远．20s时返回原点，位移为0，路程为40m， 例4、位移与时间的关系式为x＝vot+at2/2，我们已经用图象表示了速度与时间的关系．那么，我们能不能用图象表示位移与时间的关系呢?位移与时间的关系也可以用图象来表示，怎样表示，请大家讨论，并亲自实践，做一做． 同理可以由x＝一4t+0.2t2 ，得出v0＝一4m／s，a=0.4 师：描述位移随时间变化关系的图象，叫做位移一时间图象、x—t图象．用初中学过的数学知识，如一次函数、二次函数等，画出匀变速直线运动x＝vot+at2/2的位移一时间图象的草图如图2—3—9所示． 问：我们研究的是直线运动，为什么画出来的位移一时间图象不是直线呢? 答：位移图象反映的是位移随时间变化的规律，可以根据物体在不同时刻的位移在x—t坐标系中描点作出．直线运动是根据运动轨迹来命名的．而x—t图象中的图线不是运动轨迹，因此x—t图象中图线是不是直线与直线运动的轨迹没有任何直接关系． 练习： 1、 在平直公路上，一汽车的速度为15m／s，从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以2 m／s2的加速度运动，问刹车后10s末车离开始刹车点多远? 提示：7.5s后停下，故位移是56.25m,不能带入10s做题。 2、骑自行车的人以5m/s的初速度匀减速上一个斜坡，加速度的大小为0.4m/s2，斜坡长30m，骑自行车的人通过斜坡需要多少时间？ 15