图5-23
图中显示出函数y=x2在区间[-1，2]上的积分分割。拖动n的变量尺上的滑钮，可以改变分割的数目；积分下和和上和随着变化。
这里，对图像分割并测量出对应的积分和以及定积分，是新的操作。
文件中显示的7行程序，提供了测量出对应的积分和以及定积分的文本命令。
Function(y=x^2, -1, 2, n, 5); Variable(n, );
MeasureLowerArea(5); MeasureUpperArea(5); NumIntegral(5);
Text(曲边梯形的条形分割); Text(y=x^2, x∈[-1,2]);
上述第1、2行命令是作函数图像和变量尺，是司空见惯的了。第3、4、5行，分别测量出对应的积分下和、积分上和以及定积分，其中的参数5是函数曲线的编号；这些函数的名称在软件的文本作图对话框里没有，是本书特别为读者提供的。后面两条命令，作出两个文本对象，不用文本作图也能做。
怎样作出条形分割的图示呢？这在上面的文本命令中看不出来。为了作出这个效果，只要在曲线的属性对话框里勾选“x轴区域”就可以了。
[习题5-8] 作出函数y=cos(x)的图像和曲线上一个动点的切线。为切线设置动态颜色，使在函数递增处切线为红色，递减处为蓝色（参看文件“5-10函数曲线的切线”的第2页，如图5-24）。
图5-24 六 函数图象的翻转和旋转
很多函数之间存在联系，譬如说函数y=x^2与函数x=y^2互为反函数,它们关于y=x直线对称，我们该怎样来表现这一动态翻折过程呢？
（1） 在文本作图框输入“Function(y=x^2,-10,10,100,);
Function(x=y^2,-10,10,100,);LineOfEquation(y=x,);”,点击运行即可得到图5-25。 （2） 在函数y=x^2的图象上作点Ａ，依次选择点A，直线y=x，点击【变换】|【关于直
线的对称图形】，得到点Ｂ，连接AB；
（3） 在AB上作点C，选择点C，单击右键，点击“动画”，弹出对话框后，将动画类型改
为“一次运动”，点击确定。
（4） 在文本作图框输入“Locus(8,11);”，点击运行即可得到当点A运动时，点C的轨迹； （5） 点击动画，就可以看到轨迹曲线从函数y=x^2翻转到函数x=y^2（图5-26）。
图5-25 图5-26
凡是牵涉到函数图象关于直线对称都可以采用此法，譬如y=(1/2)^x与y=2^x关于y轴对称， y=log(2,x)与y=log(1/2,x)关于x轴对称，都可以依样处理，甚至几何图形也如此：
（1） 作△ABC和线段DE；
（2） 在文本作图框输入“PointOnPolygon(5,6,8,);”，运行后△ABC的边上多处点F； （3） 依次选择点F和线段DE，点击【变换】|【关于直线的对称图形】，得到点G，连接
FG；
（4） 在FG上作点H，选择点H，单击右键，点击“动画”，弹出对话框后，将动画类型改
为“一次运动”，点击确定；
（5） 在文本作图框输入“Locus(14,17);”，点击运行即可得到当点F运动时，点H的轨
迹；但此时的轨迹只是一条线，双击这条线，弹出属性对话框，将最大值那一栏的的“1”改成“3”，点击确定即可得到图5-27；
（6） 点击动画，就可以看到△ABC关于线段DE作翻转运动。
图5-27
用的比较多的函数图象的变换除了翻转，就是关于点旋转了。譬如说：在圆锥曲线的教学中，总是要分焦点在x轴上和在y轴上讨论，其中以抛物线最麻烦，因为抛物线的开口方向有4种的不同情况，它的标准方程也有4种形式。
（1） 在文本作图框输入“ConicOfEquation(y^2=2*x, );ConicRightFocus(5, );
Directrix(5, , );”，点击运行即可得到图5-28。
（2） 在文本作图框输入“Rotate(5, 1, t);Rotate(6, 1, t);Rotate(7, 1, t);”，点击
运行即可得到图5-29。
（3） 在文本作图框输入“MeasureNormalOfConic(8);”，运行后测量出新得到抛物线的标
准方程；
（4） 作出参数t的动画，将动画类型改为“一次运动”，将参数范围的最小值改为0，最
大值改为pi/2，点击确定。
图5-28 图5-29
（5） 点击动画按钮左边部分，当动画停止时（图5-30），我们看到抛物线的方程为
x2?2*1.0000*y；点击动画按钮中部分，动画停止后，抛物线的方程为 y2?2*1.0000*x；
（6） 双击动画按钮的绿色部分，弹出动画属性对话框，将参数范围的最小值改为t，最
大值改为t+pi/2；点击动画按钮左边部分得到图5-31，继续点击得到图5-32；
图5-30 图5-31
图5-32
我们还可以测量出焦点坐标，准线方程以及圆锥曲线的一般方程等，那么当参数t变化时这些测量值都会随之改变。参看配套资源“5-12函数图象的翻转.zjz”和”5-13函数图象的旋转.zjz”。
[第五篇的小结]
本篇说明了与函数曲线有关的基本功能。
要注意掌握的，首先是作出函数曲线的文本命令中的参数的意义：函数表达式、变量的下界、变量的上界以及描点的个数。这些参数都可以使用字母和数学表达式。
函数曲线的属性设置对话框里，提供了丰富的变化。在本篇中用到了“画点”、“x轴区域”、“间断点最小值”、“曲线的点数”以及“折线段”，请注意体会这些功能的作用。
对于函数曲线，可以通过Grid命令作出函数表；还可以借助程序工作区的求导运算作出动态的切线；以及作出积分分割、测量积分和等。
本篇中有一些技巧和新出现的文本作图命令，特别注意加强练习。
附录：函数作图软件的评价和选择 1．选择软件很重要
在中学特别是高中课程中，涉及函数作图的内容很多。用计算机作函数图象，不但快捷精确美观，而且具有很强的交互性，能够产生种种动态效果；如果使用得当，有助于减轻教师负担，提高学生兴趣，帮助学生理解数学概念，开阔思路，培育探索精神。
近年来，有关使用计算机软件作函数图象的文章屡见不鲜，所涉及的软件五花八门。有动画软件Flash,课件制作平台Authoware,常用程序语言VB，儿童学习编程语言LOGO，文稿演示软件PPT,数学软件如Matlab、Mathematica、Maple，统计图表软件Excel,面向数学教学的动态几何软件《几何画板》和基于动态几何的
多功能教学软件《超级画板》等等。此外，还有些作者推荐用图形计算器；在网上也能搜索到大量的以函数作图为主要功能的免费或共享软件。
这些文章有的涉及教学设计，有的讲解具体操作，有的论述教育价值。但具体说来，常常是根据其作者的实际体验，推荐一种软件作为函数作图的工具。至于为何推荐某种软件，作者总说是功能强大，容易学习，使用方便。至于强大的功能具体在何处，是不是教学上要用的；容易学习和使用到什么程度，如何界定和比较，则避而不谈，语焉不详。有些文章标题说的是“轻轻松松”画某种函数图象，实际上所介绍的方法非常繁琐。原因可能是文章的作者对函数作图软件知之甚少，只是说说自己的体会而已。
常有老师看了这些文章后莫衷一是，就问：究竟用哪种软件来画函数图象最好？
有一种意见认为，各种软件都差不多，软件的选择应当多样化。这是不了解实际情况的说法。不同的软件差别可以很大。有些软件虽然有函数作图的功能，但主要不是为中学教学而设计的，很多教学上的需求它不予支持，花时间精力学了，后来又发现不够用，再换另一种软件，就很不合算。至于学习软件的时间精力投入，以及作图操作的效率，不同的软件差别很大。函数作图是经常要用的，选择软件不恰当，将导致成倍甚至几十倍的时间和精力的浪费，影响教与学的效率和效果。
就上面所提到的种种方案中，多数老师看到有关Flash，Authoware，VB，LOGO以及PPT等操作较复杂的软件的文章后，一般就知难而退，不会选择这些软件来画函数图象。当然，如果是特别想学习这些软件，又当别论。这些软件各有自己的长处，但不擅长画函数图象。用于函数图象的教学和学习活动，费时费力。
至于图形计算器，在没有条件使用计算机时，不失为一种选择。有条件使用计算机，还是用计算机效果好得多。比起图形计算器来，计算机操作方便，图形细致美观，还有种种扩展功能。只是一定要有合适的软件，否则就反而不如图形计算器了。
下面，结合上文提及的另几种软件(数学软件如Matlab等，统计图表软件Excel，动态几何软件《几何画板》和基于动态几何的多功能教学软件《超级画板》)，讨论一下选择函数作图软件的要点。 2．选择函数作图软件的要点
许多文章都提到了选择软件的理由。例如，有篇文章就列举了这样5条理由：(1)软件的普及性高；(2)入门操作容易；(3)同步性好；(4)省时省力；(5)功能强大。这些理由已经相当全面，足以作为评价和选择函数作图软件甚至一般教学软件的基本纲领。但为了便于将几种软件作具体的对比，有必要将这5个条件归类和细化。
这5条中实际上包含了3个方面的要求：
一是要求软件容易得到，容易安装。容易得到的最高标准是免费下载或复制，容易安装的最高标准是即插即用。这样要求比“普及性高”更具体。普及性高当然好，但是也要看是如何普及。如果是合法正版，或开发商支持教育，免费复制，当然欢迎。如果是因非法复制而普及，则不宜提倡。使用盗版是有风险的。既有法律上的风险，也有道德上的风险，对学生的思想品德有潜移默化的腐蚀作用。
再者是要求软件易学易用。这包含了5条中的入门操作容易和省时省力两条。易学易用的通俗说法就是傻瓜化，要画函数图象，输入函数表达式，自变量区间，以及样本点的个数就够了（或者更简便：只输入表达式，另外两项缺省，必要时由用户修改）。如果表达式中含有字母参数，仍照数学表达式的习惯输入就是，计算机见到命令就作图。如果不仅要画图还要作函数表，就用作表的命令。如果要连续改变参数观察图形的动态变化，再输入一个命令即可。这叫傻瓜化。但是，傻瓜化也要用不同命令告诉计算机不同的操作，命令多了就不便记忆，最好是把命令和自然语言联系起来，利用联想的办法来掌握命令。要作函数表就用命令hsb,要作变量尺就用命令blc,如果对应的汉字多了，还可以用前2后1等规则，例如作参数方程曲线就用命令csx,这叫联想化。考虑到用户习惯不同，同一件事由于教学要求不同也许要用不同的模式，有时用菜单，有时用对话框，有时用文本命令等，所以应当有多种模式供用户选择，即多样化。所以，易学易用可以具体落实到操作傻瓜化，命令联想化和模式多样化。其中最基本的要求是操作傻瓜化。
重要的是软件的功能要够用。5条中的同步性好也是功能问题。其实只要能够随需应变，要同步就同步，要异步就异步，要单步就单步，教学的需求可以充分满足就好。函数图象的教学几乎贯穿高中3年，有许多需求，不仅仅是列表描点连线。例如，在函数曲线上作动点，从动点向两坐标轴作垂足，拖动动点