观察自变量的变化和函数值的变化的联系；作出含参数的函数图象，让参数连续变化，跟踪函数图象对函数族进行观察；利用函数曲线上的两个动点动态地呈现二分法计算零点的过程；对函数曲线作平移、反射和放缩等变化，以观察一个函数如何连续地转化为另一个函数；过曲线上一点作切线，观察切线斜率的符号和函数增减性的关系；对曲线形成的曲边梯形作积分分割，计算积分和观察它趋向于定积分的过程；为了让学生自主探索，还应当有动态测量功能，能够实时测量出点的坐标，直线的斜率等等。即使是列表描点连线，也可能有更多的需求，例如让样本点的个数由少到多变化，考察所画曲线的准确程度和样本点个数的关系。总之，对教学中可能出现的与信息技术有关的创意，应当力求支持。软件应当服务于教学的需求，而不应让教师学生适应软件的已有的功能。有些看来是细节，但却反映了软件是否服务于教学需求的问题。例如，用Excel作函数表时，函数表达式中的自变量x要用A1代替，参数也不能原样输入。对编程人员来说，直接根据数学表达式列表作图是很容易的事，为何不让老师学生更方便一些呢？
为了清楚简便，下面笔者用表格的方式，将对上述几种软件的有关函数图象教学的功能的考察结果列出。对每个功能的实现，分为容易、能够和困难三个等级。这几种软件的扩展能力都很强，理论上能实现的功能很多。这里所谓困难，是说非常繁琐或笔者还不知道如何实现；所谓能够，是指可以组合软件的几个操作步骤来实现；所谓容易，是指简单的一两步就能傻瓜式的实现。
表中最后一行“几何量的动态测量”，主要指测量点的坐标和直线的斜率。表中第一行“常用数学软件”，包括Matlab、Maple、Mathematica和Maxima。这类软件的操作方式大同小异，函数命令极为丰富，笔者未能充分了解，因此表中有些项就填上“不详”。
从表上看出，选择有关函数图象的教学辅助软件，首选我国自主开发的《超级画板》。已经会用《几何画板》的老师，继续使用它也是一种选择。若想更为省时省力，不妨试一试《超级画板》。至于Excel,本不是为教学设计的，用起来事倍功半，不少要做的事难以入手。
看了上表，会不会有读者认为制表人对《超级画板》有偏爱之嫌呢？用它实现表中的功能就都那么容易？容易到什么程度？让我们来具体了解一下吧。 3．用《超级画板》辅助有关函数图象的教学
用《超级画板》画函数图象或造函数表，实现的方法有好几种。下面说的方法操作更加简单，适合初学者使用。
《超级画板》免费版本的不少操作，要用文本命令执行。为了容易记忆命令，软件特别配备了一个可以免费下载的“方便空白页面”文档 (由教育部教育信息技术工程研究中心开发，目前仍在进一步扩展之中)，文件名取简称为“方便面.zjz”。该文档有10个空页面可供使用，其程序区支持100多个简单而容易记忆的命令。
命令的构造规律如下：
汉字命令不超过3个字时，取拼音的第一个字母组成英文命令。例如：函数表就是hsb,旋转就是xz,平移就是py。汉字命令长度超过3个字时，取前面2个字和最后一个字的拼音的第一个字母组成英文命令。例如：函数曲线就是hsx, 极坐标曲线就是jzx, 圆内接正n边形就是ynx,等等。这样很快就可以记着命令。
少数命令要用4个或更多的字母。例如，作圆锥曲线的切线的命令是yzqx；测量点的x坐标的命令是
cxzb；等等。
存盘时用“另存为”命令，把文件名从“方便面”改为自己需要的名字。以下举例说明有关函数图象的功能在方便空白页面上的操作方法。以下按上面比较表中提到的功能顺序说明： (1)列函数表描点连线
命令格式为“hsb(A，a，b, n);”，这里A是函数表达式，表达式中默认x是自变量，a和b是自变量的最小和最大值，n是样本点的个数。例如，要列出正弦函数在区间[0, 2π]上15个点处的函数表并且描点画曲线，只要在左方程序区输入或粘贴下列命令（注意,在英文状态下输入）：“hsb(sin(x),0,2*pi,15);”，再把光标放在命令最后的分号后面，按Ctrl + Enter 键，屏幕上的作图区就会出现函数表和对应的散点图。还有一个动画按钮。用鼠标把函数表和按钮分别拖到适当位置，单击动画按钮，就可以看到动态的画线过程（图1）。
图1
如果不想描点画线，只要造表，可用命令“hsb1(sin(x),0,2*pi,15);”代替上述命令。造表后若要显示曲线，可以在左下部单击“对象”按钮从程序区切换到对象区(图2)，然后在对象区勾选曲线对象(图3)即可。
图2 图3
如果还要显示出样本点，可以将鼠标指着曲线单击右键打开右键菜单，在菜单中单击“属性”，打开曲线的属性对话框(图4)，在对话框左下部勾选“画点”；若要改变样本点的个数，可在对话框右部改写曲线的点数；最后单击确定即可。如图4所示，我们还可以修改函数的表达式，x的变化范围等等。软件的这种设计，非常有利于探究性研究。
改变曲线的点数之后，表格的大小可能不够用，我们可以改变表格的行列数。将鼠标指着表格单击右键打开右键菜单，在菜单中单击“属性”，打开表格的属性对话框(图5)，在对话框左下部可以修改其行列数。还可以双击表格第一行的文本“y”，将它改为sin(x)。
图4 图5
(2)函数曲线作图 如果只要作函数曲线，不要函数表，可以在“方便面.zjz”文档的程序区简单地使用命令“hsx(A);”，A是函数表达式。自变量范围默认为[-10,10],样本点个数默认为100，这些参数可以用上面所说的方法在图4所示对话框里修改。
例如，要画函数
y?1?x1?x2 的图象，可在程序区输入：“hsx((1+x)/(1+x^2));”，再把光标放在命令
最后的分号后面，按Ctrl + Enter 键即可，如图6。
图6
(3)描点数目动态变化 类似上面的设置曲线属性的操作，用鼠标指着曲线单击右键打开右键菜单，在菜单中单击“属性”，打开曲线的属性对话框(图4)，在对话框左下部勾选“画点”；在对话框右部改写曲线的点数为n；单击确定。曲线上就显示出样本点。
在程序区输入并执行“变量尺”命令“blc(n);”，可以作出n的变量尺；拖动变量尺上面的滑钮，可以改变n的数值，从而改变样本点的个数（图7）。容易观察出n增大到一定程度才能把曲线画得准确。
图7
(4)带参数动态曲线作图 这是用计算机作函数图象的热门问题，典型例子是一般正弦函数y＝asin(bx+c)的作图。在《超级画板》中，带参数的函数曲线的作图和不带参数的没有什么不同，只不过多加一条命令来建立控制参数的变量尺而已。具体说来就是在程序区输入两条命令“hsx(a*sin(b*x+c));blc3(a,b,c);”。前一条命令根据参数的缺省值画曲线，后一条命令建立3个参数的变量尺。一次或分别执行后生成曲线和3条变量尺，拖动变量尺上的滑钮改变参数值，就可以看到曲线随参数的变化而连续变化（图8）。
图8
(5)函数曲线上作动点 用命令“hsx(x^2/2);”作一条抛物线，再用“坐标点”命令“zbd(u,u^2/2);”作一点A，此点当然在这条抛物线上。用命令“blc(u);”作u的变量尺，拖动变量尺上的滑钮，就可以控制点A在曲线上运动。
用《超级画板》的画笔功能，可以从点A向两坐标轴引垂足。在作图窗口上方有一个画有一支笔的图标，鼠标靠近它时会显示“画笔”字样，叫画笔图标。单击画笔图标，鼠标光标变成一只握笔的手，就进入了“智能画笔”状态。鼠标光标移动到点A处，按下左键沿着接近垂直于x轴方向拖动，光标靠近x轴时，附近会出现“垂足”字样，这时松开左键，就作出了自A到x轴的垂线段和垂足。类似可作出A到y轴的垂足（图9）。图中用箭头和白色小圈指出了画笔图标。作图完成后，要单击上方的“选择”图标（带有箭头图案，在画笔图标的左边），回到通常的选择状态。
图9
用智能画笔也可以直接在曲线上作点。作出的点可以在曲线上运动。
容易想到，用坐标点命令“zbd(u,0);”和“zbd(0,u^2/2);”也能作出这两个垂足。
如何直接拖动含有参数u的这几个坐标点呢？用鼠标指着点A单击右键打开右键菜单，在菜单中单击“属性”，打开点A的属性对话框(图10)，在x-拖动参数后面的空白栏里填写u，单击确定后，点A就可以拖动了。拖动点A时，它的两个垂足会作相应的运动。
图10 图11
(6)对曲线跟踪 用命令“hsx(a^x);”作函数
y?ax的图象，再用命令“blc(a);”作参数
a的变量
尺。拖动变量尺上的滑钮，可以观察曲线随a变化的规律，但变化的中间过程却没有保留。使用《超级画板》的跟踪功能，可以弥补这个缺憾。操作很简单：鼠标指着曲线按右键打开右键菜单，单击“跟踪”即可。这时拖动变量尺上的滑钮，曲线变化时就留下了一系列的踪迹。
用手拖动变量尺上的滑钮很难做到速度均匀。做个动画按钮来控制可以得到更好的效果。操作方法是直接按右键打开右键菜单，单击“动画”打开参数输入对话框，在空白栏里键入字母a，如图11。单击确定后出现动画设置对话框如图12；在对话框中设置频率为50，最小值和最大值为0和5，类型选择一次运动。为方便观察，毫秒数取1000，如图12；最后单击确定完成动画设置。单击动画按钮，可以看到变量尺上a的数值由0开始增长，每次增加0.1；曲线则同步地相应变化，并留下痕迹。当a=5时停止变化，屏幕上呈现指数函数族的图象（图13）。
图12 图13 函数图象有关教学中的应用。 A.用反射说明对数函数
(7)对曲线作几何变换 《超级画板》提供了丰富的几何变换命令。这里举例说明反射，平移，旋转在
y?log2x和指数函数y?2x的图象关于直线y?x对称。
y?log2x的图象。用前述的方法在曲
用作函数曲线的命令“hsx(log(2,x));”作出对数函数
线的属性对话框里将变量范围改为0到10，点数改为1000使曲线在x=0附近画得更精确。用作坐标点的命令“zbd(8,8);”作坐标为(8,8)的点A；用画笔功能从原点到A连线段后回到选择状态。按着Ctrl键，顺次单击线段OA和曲线选择这两个对象（选择多个对象的方法之一是按着Ctrl键依次单击要选择的对象；也可以单击Insert键进入多选状态，就不用按Ctrl键了），打开右键菜单单击“关于直线的对称图形”，就作出了关于直线OA和函数
y?log2x的图象对称的曲线。为了便于将它和指
数函数
y?2x的图象比较，在它的属性对话框里将其线型修改为“点线”，宽度修改为5。再用命令
y?2x的图象，可以看到此图象和已有的点线重合，如图14。
“hsx(2^x);”作出指数函数
图14
当然，也可以用其他方法验证对数函数
y?log2x和指数函数y?2x的图象关于直线