3、题型及分析
（1）鸡兔同笼，数头为20，数脚为60。鸡兔各有多少只？ A、假设法
假设全是鸡，则脚数为：20× 2=40（只）， 实际比假设的脚数多： 60－40=20（只）， 兔的只数为： 20÷（4－2）=10（只）， 鸡的只数为： 20－10=10（只）。 B、“简单”法
站立脚数：60÷2=30（只） 兔子数： 30-20=10（只） 鸡数： 20-10=10（只）
（2）11张乒乓球台上正有30人在比赛。进行单打与双打的乒乓球台各有几张？
“头数”为11，单打“脚数”为2，双打“脚数”为4。 A、假设法
假设全是双打，人数（脚数）为：11×4 =44（人）， 实际人数比假设人数少： 44－30=14（人）， 单打的乒乓球台张数为： 14÷（4－2）=7（张）， 双打的乒乓球台张数为： 11－7 =4 （张）。 B、“简单”法
站立脚数：30÷2=15（人） 双打张数：15-11=4 （张） 单打张数：11-4 =7 （张）
（3）一个停车场，共停摩托车50辆，数轮子共130个。双轮摩托车与三轮摩托车各有多少辆？
“头数”为50，双轮摩托车“脚数”为2，三轮摩托车“脚数”为3。本题不能用“简单”法解。
解：设双轮摩托车有X辆，则三轮摩托车有（50－X）辆，根据题意列方程为：
2X＋（50－X）×3=130 解得X=20，即双轮20辆，三轮30辆。
（二）余数的学问
1、找规律
几种图形按一定的规律重复排列，求第N个图形是哪种。用“N÷每组图形的个数=a（组）??b（个）”，从每一组的第一个图形起数到第b 个，即是第N个图形。（如果没有余数，每组最后一个图形即是第N个图形）
（1） ??，第100个图形是什么？
每组图形中是一个三角形、两个长方形和三个圆形，共6个图形，因此： 100÷6=16（组）??4（个）
每组第4个图形是圆形，所以第100个图形是圆形。
（2）4除以7，商的小数点后面第48位是什么数字？
4÷7=0.571428571428??，商是循环小数，每组有6个数。因此： 48÷6=8（组）
每组最后一个数是8，所以第48位是8。
（3）2013年5月2日是星期四，2014年5月2日是星期几？
从2013年5月2日到2014年5月2日刚好一整年，2014年是平年，一共是365天，一个星期是7天，因此：
365÷7=52（星期）??1（天），从星期四起往后推一天，所以2014年5月2日是星期五。
2、分配与抽取
（1）在整数范围内平均分配有余数时，其中至少有一份数必须要增加1。（在有余数的除法中，余数最小是1）
①17只鸽子飞进3个笼子，鸽子最多的笼子至少要进几只鸽子？为什么？ 17÷3=5（只）??2（只） 余下的2只，再平均进其中有两个笼子至少 5＋1=6（只） 要加1。
②30个同学，最多分成几组，可以保证有一组至少有8人？为什么？ 既要尽可能的多分组（“最多分成几组”），又要保证其中有一组不得少于8人，那么8人的这一组是人数最多的，至少比其它组多1人。所以：
30÷（8－1）=4（组）??2（人）——最多分成4组。
③某校六年级有388名学生，至少有几人的生日在同一个月？生日在同一天的至少有几人？
第一问：388÷12=32（人）??4（人） 32＋1=33（人） 第二问：388÷365=1（人）??23（人） 1＋1=2（人）
④任意给出3个自然数，必定有两个数的差是2的倍数，为什么？任意给出4个自然数，必定有两个数的差是3的倍数，为什么？任意给出5个、6个、7个??自然数，必定有两个数的差分别是几的倍数？
任意3个自然数，至少最大的数与最小的数的差等于2；另，任意3个自然数，要么是两个偶数一个奇数，要么是两个奇数一个偶数。已知两偶数之差或两奇数之差必定是偶数。所以，任意3个自然数，必定有两个数的差是2的倍数。
任意4个自然数，至少最大的数与最小的数的差等于3（比如1、2、3、4）；必定有两个数的差是3的倍数。依此类推，任意给出5个、6个、7个??自然数，必定有两个数的差分别是4、5、6??的倍数。
（2）从几种不同特征的物品中，要保证抽取到2个同种物品时，至少要抽取（种类数+1）个物品。如果要保证抽取到指定种类的2个物品时，至少要抽取
（其他种类的物品总数+2）个物品。第一种情况只与物品的种类数有关，第二种情况既与种类数有关还与每种物品的数量有关。
①4个红球、5个白球、6个黄球，保证摸出2个同色的球，至少要摸几个球？保证摸出2个红球，至少要摸几个球？
第一问是要摸到同色球，无论红、白、黄均可，种类数是3（红、白、黄），所以只要摸4个球（3+1=4）。
第二问要保证摸出的球中至少有两个红球，只有在将其他颜色的球全部摸完后，再摸两个就一定是红球了，所以要摸13个球（5+6+2=13）。
②小丽夏天的衣服中有3条裤子、4件上衣，可以有几种不同的搭配方式？小丽至少要穿多少天，能保证有2天穿的衣服完全相同？
第一问：3×4=12（种），共12种搭配方式。
第二问：要保证有2天穿的衣服完全相同，就要先将所有的搭配方式穿完，再穿一天，就会有2天穿的衣服完全相同了。13+1=14（天）
（三）路桥问题
1、题型特点及解题方法。
列车通过一定的距离（从车头接触到车尾离开）需要多少时间，是为路桥问题。
列车过桥（隧道、静止列车）的解题公式： （车长+桥长）÷车速=通过时间
列车与列车对开，从车头相遇到车尾离开的解题公式： （车长1+车长2）÷（车速1+车速2）=通过时间
快车在后，超过慢车，从车头相遇到车尾离开的解题公式： （快车长+慢车长）÷（快车速-慢车速）=超过时间 2、题型分析
（1）一列火车长360米，以每秒24米的速度通过一座长600米的桥。这列火车从车头上桥到车尾下桥共需多少秒？
分析：车头开始上桥时，车尾还在离桥360米处，车尾通过桥还需行（360+600）米，所以通过时间为：（360+600）÷24=40（秒）
（2）甲火车长372米，每秒行26米；乙火车长378米，每秒行24米。两车对开，从车头相遇到车尾离开共需多少秒？
分析：两车车头相遇时，两车车尾之间的距离为（372+378）米，车速为两车速度之和，所以两车车尾离开的时间为：（372+378）÷（26+24）=15（秒）
（3）快车长300米，每秒行30米，慢车长400米，每秒行20米。两车在平行的轨道上行驶，慢车在前，快车在后。从快车车头与慢车车尾相遇到快车车尾离开慢车车头，需要多长时间？
分析：快车车头与慢车车尾相遇时，快车车尾与慢车车头相距（300+400）米，车速为两车速度之差，所以快车超过慢车的时间为：（300+400）÷（30-20）=70（秒）
（四） 植树问题
1、题型特点及解题方法。 研究全长、棵距（每段长度）、段数（平均分成的线段的数量）、棵数（点娄四种数量关系的应用题，叫植树问题。要解决植树问题，首先要牢记三要素：全长、棵距（每段长度）、棵数（点数）。只要知道其中任意两个要素，就可以求出第三个。植树问题有三种情况：
第一种：线路两端都植树，则棵数比段数多1。全长、棵数、棵距之间的关系是：
棵数 = 段数 + 1 = 全长 ÷ 棵距 + 1 全长 = 棵距 ×（棵数 - 1） 棵距 = 全长 ÷（棵数 - 1）
第二种：线路一端植树或线路封闭，则棵数与段数相等。全长、棵数、棵距之间的关系是：
棵数 = 段数 = 全长 ÷ 棵距 全长 = 棵距 × 棵数 棵距 = 全长 ÷ 棵数
第三种：线路两端都不植树，则棵数比段数少1。全长、棵数、棵距之间的关系是：
棵数 = 段数 – 1 = 全长 ÷ 棵距 - 1
全长 = 棵距 ×（棵数 + 1） 棵距 = 全长 ÷（棵数 + 1）
植树问题实际上研究的是点与线段的问题——线段的全长、分点的个数和每段长度。还有很多应用题，虽然没有“植树”字样，但与植树问题的实质是一样的，都研究点与线段的问题，所以都可以按植树问题的方法来解决。比如在线路上插彩旗、竖电线杆、安路灯、摆鲜花和上楼梯、锯木头、剪绳子等问题。
2、题型分析
（1）两端都植树
①一条公路长1920米，在公路两旁每隔6米种一棵树，两端都种。共需种多少棵树？
分析：路线不是圆周。全长是1920米，棵距是6米（每隔6米种一棵树），段数是1920 ÷ 6=320（段），因为是“两端都种”，所以公路一旁应种树320 + 1=321（棵），那么公路两旁都种树的棵数就是321 × 2=642（棵）。
②某街道从起点到终点一边安装路灯共21盏，已知每两盏路灯之间的距离是相等的，量得第一盏灯到第七盏灯之间的距离是60米。这条街全长多少米？
分析：“从起点到终点”说明两端都“植树”，段数（两盏路灯之间为1段）比棵数（盏数）少1，即21 - 1=20（段）。棵距要根据“第一盏灯到第七盏灯之间的距离是60米”来求，从第一盏灯到第七盏灯是6段（7 - 1），求得棵距为：60 ÷（7 - 1）=10（米）。所以全长为：10 × 20=200（米）。
③学校迎接检查，要在校园主干道的两旁摆188盆鲜花，两端都摆。已知主干道长186米，每边每隔多少米要摆一盆花？
一边摆花的总数：188 ÷ 2 = 94（盆）
主干道平均分成的段数：94 – 1 = 93（段） 每两盆花之间的距离：186 ÷ 93 = 2（米）
④小明从一楼爬到三楼用了1分钟。照这样计算，他爬到十楼还要几分钟？ 楼数即是“棵数”，层数就是“段数”，楼数比层数多1，即从一楼爬到三楼实际爬了（3-1）=2层。
爬每层楼需要的时间：1 ÷（ 3 – 1 ）= 0.5（分钟） 从三楼到十楼的时间：0.5 ×（ 10 – 3 ）= 3.5（分钟） ⑤一老人以等速在一条小路上散步，路边相邻的两棵树的距离相等。他从第1棵走到第10棵树用了11分钟，如果他走了22分钟，从第1棵树走到了第几棵树？
111111 ÷（ 10 – 1 ）= （分钟） 22 ÷ + 1 =19（棵）
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（2）一端植树或线路封闭。
①一个圆形花坛，直径50米，在花坛的边沿每隔3.14米种一棵铁树，共需种多少棵铁树？
2全长：3.14 × （50 ÷ 2） =1962.5（米） 棵数：1962.5 ÷ 3.14 = 625（棵）
2综合算式：3.14 × （50 ÷ 2） ÷ 3.14 = 625（棵）
②围棋盘是正方形的，每条边上可摆19个棋子。周围四条边全摆上，共需摆多少个棋子？如果每两个棋子之间的距离是2.5厘米，棋盘的周长是多少厘米？
分析：每条边上摆19个棋，在正方形的边上是两端都摆的，而每个角是两条边共有的，这样角上的棋子被算了两次，所以每条边真正摆的棋数为（19-1）个，还是属于“一端植树”。
共需摆棋的个数为：（19 - 1）× 4 = 72 （个） 棋盘的周长：72 × 2.5 = 180（厘米）
或（ 19-1 ）×2.5 × 4 = 180（厘米）
③一块长方形地，长30米，宽24米，在地的四周种树，每隔6米种1棵，共种多少棵树？
方法一： 长方形周长：（ 30 + 24 ）× 2 = 108（米） 种树的棵数：108 ÷ 6 = 18（棵） 方法二：
（30÷ 6 + 24 ÷ 6）× 2 = 18（棵）
④某街道长2475米，街道的一端有个配电房，现在要向另一端送电，每75米竖一根电杆，一共要多少根电杆？
分析：配电房所在的位置不需要电杆，所以是一端植树。 2475 ÷ 75 = 33（根）
⑤48个同学在操场上做游戏，他们站成一个正方形，第两个人之间的距离相等，4个顶点都有人，每边有多少人？如果每两人之间相距1.5米，站成的正方形周长多少米？
第一问
站成正方形是封闭的，在另一端不算的情况下，每边站的人数是〔48÷4=〕