线y=﹣x2+bx+c经过点A，B． （1）求k的值和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①若以O，B，N，P为顶点的四边形OBNP是平行四边形时，求m的值． ②连接BN，当∠PBN=45° 时，求m的值．
【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得k，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出PN的长，根据平行四边形的性质得：OB=PN=2，列方程解出即可；
②有两解，N点在AB的上方或下方，作辅助线，构建等腰直角三角形，由∠PBN=45° 得∠GBP=45°，设GH=BH=t，则由△AHG∽△AOB，得AH=t，GA=AB=AH+BH=t+t=得结论．
【解答】解：（1）把A（3，0）代入y=kx+2中得，0=3k+2，k=﹣，…………（1分）
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+2， ∴B（0，2），
把A（3，0）和B（0，2）代入抛物线y=﹣x2+bx+c中，
，根据
，可得BG和BN的解析式，分别与抛物线联立方程组，可
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则，解得：，
； …………（2分）
二次函数的表达式为：y=﹣（2）①如图1，设M（m，0）， 则P（m，m+2），N（m，﹣∴PN=yN﹣yP=（﹣
）…………（3分）
）﹣（﹣m+2）=﹣
+4m，
由于四边形OBNP为平行四边形得PN=OB=2，…………（4分） ∴
+4m=2，解得：m=
或
…………（5分）
②有两解，N点在AB的上方或下方， 如图2，过点B作BN的垂线交x轴于点G， 过点G作BA的垂线，垂足为点H． 由∠PBN=45° 得∠GBP=45°， ∴GH=BH，
设GH=BH=t，则由△AHG∽△AOB，得AH=t，GA=由AB=AH+BH=t+t=∴AG=
×
=
，解得t=，
=，即G（，0）…………（7分）
，
，
从而OG=OA﹣AG=3﹣
由B（0，2），G（，0）得：
直线BG：y=﹣5x+2，直线BN：y=0.2x+2． 则
，解得：x1=0（舍），x2=
，即m=
；
则故m=
与m=
，解得：x1=0（舍），x2=为所求．…………（9分）
；即m=；
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【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用平行四边形的性质得到关于m的方程是解题的关键，在（2）②中利用联立方程组是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强．
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