小题专项练习(四) 三角恒等变换 1－sinα1π?与正余弦定理1.C cos?2＋4?＝＝2＝3，故2??选C. π??172．B ∵sinα＝17，α∈?0，2?， ??4172∴cosα＝1－sinα＝17， 1∴tanα＝4， πtanα－tan4π??3∴tan?α－4?＝＝－π5，故选B. ??1＋tanα·tan4623．D 由正弦定理得sinB＝π， sin43∴sinB＝2， π2π又6>2，B∈(0，π)，∴B＝3或B＝3， 11∴cosB＝2或cosB＝－2，故选D. ?π5π?4．B ∵α∈?2，4?， ??π?π?∴α－4∈?4，π?， ??π?32??∴sinα－4?＝5<2， ??π?π?∴α－4∈?2，π?， ??π??4∴cos?α－4?＝－5， ??ππ?π?ππ?π3???2∴sinα＝sin?α－4＋4?＝sin?α－4?cos4＋cos?α－4?cos4＝5×2＋???????4?22?－?×＝－，故选B. 210?5?25．C ∵sin(π－α)－cos(π＋α)＝3， 2?απ????α＋1＋cos2??2∴sinα＋cosα＝3， 2∴1＋2sinαcosα＝9， 7∴2sinαcosα＝－9， 16∴(sinα－cosα)＝1－2sinαcosα＝9， ?π?又α∈?2，π?，sinα－cosα>0， ??4∴sinα－cosα＝3，故选C. 16．B 由sin(C－A)＝2sinB， 得2sin(C－A)＝sin(C＋A)， ∴2sinCcosA－2cosCsinA＝sinCcosA＋cosCsinA， ∴sinCcosA＝3cosCsinA，由正余弦定理，得 b2＋c2－a2a2＋b2－c2c·2bc＝3a·2ab， 得4c2－4a2＝2b2＝2×16＝32， ∴c2－a2＝8，故选B. 2cos2θ7．B 由＝3sin2θ， ?π?cos?4＋θ???2?cos2θ－sin2θ?得＝23sinθcosθ， 22?cosθ－sinθ?即2(cosθ＋sinθ)＝23sinθcosθ， ∴1＋2sinθcosθ＝3sin2θcos2θ， 1∴sinθcosθ＝－3，或sinθcosθ＝1(舍)， 2∴sin2θ＝－3，故选B. 8．D 由sinα－2cosα＝3， 得sin2α－22sinαcosα＋2cos2α＝3sin2α＋3cos2α， ∴2sin2α＋22sinαcosα＋cos2α＝0， ∴2tan2α＋22tanα＋1＝0， 2∴(2tanα＋1)2＝0，∴tanα＝－2，故选D. 29．D 由bsin2A＋3asinB＝0， 得2bsinAcosA＋3asinB＝0， ∴2sinBsinAcosA＋3sinAsinB＝0， ∴sinBsinA(2cosA＋3)＝0， 在△ABC中，sinB≠0，sinA≠0，∴2cosA＋3＝0， 3∴cosA＝－2， 由余弦定理，得 3222222a＝b＋c－2bccosA＝3c＋c＋23c·2＝7c2， c7∴a＝7，故选D. ?π?111031010．A ∵tan?4－A?＝2，∴tanA＝3，∴sinA＝10，cosA＝10，??25sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝5， 1125∵S△ABC＝25，∴S△ABC＝2absinC＝2ab5＝25， ∴ab＝255， 22bsinB又a＝sinA＝＝5， 1010∴a＝5，b＝55， ∴a＋b＝5＋55，故选A. 11．A ∵absinC＝20sinB， ∴abc＝20b， 即ac＝20， 1222∴b＝a＋c－2accosB＝41－40×8＝36， ∴b＝6，故选A. 12．D 由题可知∵AC＝26， ?π?6??sinA＝sin2＋α＝cosα＝3， ???π?1sinB＝sin?2－2α?＝cos2α＝2cos2α－1＝3， ??626×3AC·sinA∴BC＝sinB＝＝12，故选D. 1313．10 44解析：由题可知sinα＝＝5，cosα＝223＋446sinα＋2cosα5＋5∴＝43＝10. sinα－cosα5－514．－2 1＋tanθ?π?解析：由tan?4＋θ?＝3，可得＝3， ??1－tanθ1∴tanθ＝2， sinθcosθ－3cos2θ ＝tanθcos2θ－3cos2θ 525154＝－2cosθ＝－2×＝－2×5＝－2. 21＋tanθ515.4 ab解析：由正弦定理sinA＝sinB，得 52bbsinA＝sinB， 55∴sin2B＝2sinB，∴cosB＝4. 16．3－2 解析：在△DEM中，DE＝EM＝3，DM＝2， 3＝5， 223＋43DM2＋EM2－DE222＋32－321∴cos∠EMD＝＝＝， 2DM·EM2×3×23122∴cos∠EMF＝－3，∴sin∠EMF＝3， 34在△EMF中，cosF＝5，∴sinF＝5， EMEF52由正弦定理得：sinF＝，得EF＝2， sin∠EMFsin∠MEF＝sin(∠EMF＋F) 223?1?4＝3×5＋?－3?×5 ??62－4＝15， 1∴S△MEF＝2EM·EFsin∠MEF 15262－4＝2×3×2×15 ＝3－2.