选修系列2 N = 36 × 36 × 36 × 36 = 1 679 616．
（3）设置一个由0到9这10个数字组成的4~6位密码，有3
类办法：第一类办法是设置4位密码；第二类办法是设置5位密码；第三类办法是设置六位密码．
第一类办法可以设置4位密码的个数为
m1 = 10 × 10 × 10 × 10 = 104；
同理，第二、三类办法可以设置5，6位密码的个数分别为
m2 = 105，m3 = 106．
根据分类加法计数原理，设置由数字0到9组成的4~6位密码的个数是
N = m1 + m2 + m3 = 104 + 105 + 106 = 1 110 000．
答 在甲、乙和丙网站分别可注册10 000，1 679 616，1 110 000个免费电子信箱．
在甲、乙、丙三个网站中申请免费电子信箱，哪一个网站比较安全？
1．乘坐公共交通工具从甲地到相距较远的乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，
还可以乘长途汽车．一天中，飞机有2个航班，火车有4班，长途汽车有10班．那么一天中，乘坐这些公共交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
2．手表厂为了供应更多新颖款式的手表，为统一的机芯设计了4种形状的外壳、
2种颜色的表面及3种形状的数字，问： （1）可分为几个步骤考虑手表款式的种数？ （2）完成每个步骤分别有几种方法？ （3）共有几种不同的款式？
3．几个朋友出其不意地造访小李，此时正是晚饭时间．小张迅速看了一下食
品储藏室和冰箱中的存货：4种肉食、7种蔬菜、3种面包和2种土豆食品．问：小李能做出多少种由一种肉食、一种蔬菜、一种面包和一种土豆组成的不同饭菜？
4．某街道社区有甲、乙、丙3名青年志愿者，要从他们3人中选出两人分别参
加于下周六和下周日举行的青年志愿者活动，共有多少种不同的选法？ 5．现有高中一年级的学生4名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生3名． （1）从中任选1人参加夏令营，有多少种不同的选法？
（2）从3个年级的学生中各选1人参加夏令营，有多少种不同的选法？ 6．如图，从甲地到乙地有3条陆路可走，从乙地到丙地有2条陆路可走，又从
甲 乙 （第6题）
思 考
练 习
丙
甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．
（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？ （2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
7．4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1种，则不同
8 计数原理 第7章 的报名种数有（ ）．
A．3 种 B．43种 C．3 ? 2 ? 1种 D．4 ? 3 ? 2种
4
习题 7．1
——————————————————————————————————————————————— 感受·理解 1．为了准备晚饭，小张找出了3种冷冻蔬菜、5种罐装蔬菜和4种不同的新
鲜蔬菜．如果晚饭时小张只上一种蔬菜，那么共有多少种可能的选择？ 2．在选修课程目录中，一个学生在选修系列3中发现了4门有趣的课程，在
选修系列4中发现了6门有趣的课程．如果这个学生决定在选修系列3和选修系列4中各选一门有趣的课程作为新学期的选修课，那么他有多少种可能的选择？
3．如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有
2条路，从丙地到丁地有4条路．从甲地到丁地共有多少种不同的走法？
丙
（第3题）
（第4题）
乙 甲 丁
A B 4．如图，一条电路在从A处到B处接通时，可以有多少条不同的线路？ 5．（1）连续抛掷一颗骰子两次，用树图画出正面朝上的点数的所有可能． （2）第一次抛壹元币，第二次抛伍角币，第三次抛壹角币，试用树图画出
三次抛掷后三种硬币向上是正面或是反面的所有可能． 6．从1，2，3，4四个数字中，每次取出两个数字组成两位数．
（1）若两位数中的数字不许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？ （2）若两位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？ 7．用1，5，9，13中任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，
可构造多少个不同的分数？可构造多少个不同的真分数？ 8．（1）乘积 (a + b + c + d)(m + n)(x + y + z) 展开后共有多少项？
n
m
（2）∑ai·∑bj 共有多少项？
i=1
j=1
9．如图，从A沿街道走到B，使路程最短的走法有多少种？
A D
C E
（第9题）
A
F
B
（第
B
10
思考·运用 10．如图，从A沿街道走到B，使路程最短的走法有多少种？
11．以正方形的四个顶点中某一顶点为起点、另一个顶点为终点作向量，则可
以作出多少个不同的向量？
12．（1）在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}内取
9 选修系列2 值的不同点共有多少个？
（2）在平面直角坐标系内，其方程的斜率在集合B = {1, 3, 5, 7}内取值，
与y轴交点的纵坐标即截距在集合C = {2, 4, 6, 8}内取值的不同直线共有多少条？
13．（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报
其中的1个运动队，不同报名方法的种数是多少？
（2）3个班分别从5个风景点中选择1处游览，不同选法的种数是多少？
探究·拓展 14．如果使用1个字母后接4个数字的方式构成汽车牌照，那么可能的汽车牌
照有多少个？为什么目前这种构成方式已不能满足要求？调查你所在地区的汽车牌照（或电话号码、身份证号码等）的构成方式的变迁，新的构成方式有什么优点？
7.2 排列
江苏-15选5风采-数据分析表最近10期 10 区--1-3；B区--4-6；C区--7-9；D最邻大小 最大 小 极号 号 号码 尾某城市的一种彩票的规则是： 将写有1到9九个数字规格相同的小球放入摇奖器内，依次随 连AC号连号质号尾数平遗漏遗传A区B区C区D区计数原理 第7章 机摇出5个小球，当彩票号码与摇出的小球的号码（包括顺序）全部相同时，中一等奖，当彩票号码中有四个数字（包括顺序）相同时，中二等奖。
一彩民买一张彩票，中一等奖和中二等奖的概率各有多大？
1
设摇出的所有号码组成集合A，则中一等奖的概率为Card(A) ,
2
中二等奖的概率为Card(A) ，那么
● 用怎样的数学模型处理这种计数问题？
计算Card(A)就是确定从1到9九个数字中依次抽取5个数字组成的五位数的个数，为简便起见，我们先研究将1到3三个数字依次抽出的情形：
将所有可能的情形用树形图表示： 1 2 3 第1个数
2 3 1 3 1 2 第2个数
图7-2-1
即共有6种不同的结果：123，132，213，231，312，321。
事实上，这6种填法都是将1，2，3三个数字按一定的顺序排成了一列，我们将它们叫做用1，2，3三个元素的一个排列。
如果考虑从1到9这九个数字从任选5个排成一列，那么可得到12345，12346，12347，…，56789等排法，其中每一种排法都称为从1到9这九个数字中选取5个数字所成的一个排列。
一般地，
如无特别说明，取出若个元素都是指无重复地选取．
第3个数
3 2
3 1
2 1
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（Arrangement）．
例1 写出从a，b，c，d这4个元素中，每次取出2个元素的所有排列．
解 把a，b，c，d中的任意一个元素排在第一个位置上，有4种方法；第一个位置上的元素排好后，第二个位置上的元素就有3种排法．
11 选修系列2 若第一个位置是a，那么第二个位置可以是b，c，或d，有三种排法，即ab，ac，ad．
同理，第一个位置更换为b，c，或d，也分别各有三种排列，即
a b c d
b c d a c d a b d a b c 图7-2-3 共计有12种不同的排列，它们是
ab， ac， ad， ba， bc， bd， ca， cb， cd， da， db， dc．
例2 写出从a，b，c，d这4个元素中，每次取出3个元素的所有排列．
解 根据例1，从4个元素中每次取出2个元素的排列有12种，在每一种这样的排列后面排上其余两个元素的每一个，就得到取3个元素的所有排列．可以画出树图如下．
a b c d
b c d a c d a b d a b c
c d b d b c c d a d a c b d a d a b b c a c a b
图7-2-4
共计有24种不同的排列，它们是
abc， abd， acb， acd， adb， adc， bac， bad， bca， bcd， bda， bdc， cab， cad， cba， cbd， cda， cdb，
dab， dac， dba， dbc， dca， dcb．
按所给元素的先后顺序，依次考虑第一位、第二位、……各个位置上所有可能的变化，既保证了所有的排列无重复无遗漏，又保证了每一个排列里的元素无重复无遗漏．
abc与acb是相同的排列吗？
1．写出从a，b，c，d，e这 5个元素中任取2个元素的所有排列． 2．用红、黄、蓝三面小旗（三面小旗都要用）竖挂在绳上表示信号，不同的
12 思 考 练 习