选修系列2 （2）分2步完成：
第1步 将4名男生排成一排，有A4 种排法；
第2步 排2名女生，由于2名女生不相邻，于是可以在4名
2
男生之间及两端共5个位置中选出2个排2名女生，有A5 种排法．
根据乘法原理，不同的排法种数共有
42
A4 A5 = 24 ? 20 = 480．
答 分别有240和480种不同的排法．
4
练 习
1．国际航空运输协会（IATA）通过任意选取三个英文字母作为一个机场的机
场号，以标识该机场．用这种方法一共可以得到多少个不同的机场号？ 2．（1）有4种不同品种的梨树秧，每两种嫁接可以培育新品种，有几种不同
的新品种？
International Air Transport Association （2）有4种不同品种的蔬菜，从中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？
3．按序给出a，b两类元素，a类是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；b类是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．从a类里选奇数位的任一个排在首位，b类里选奇数位的任一个排在末位；又从a类里选偶数位的任一个排在首位，b类里选偶数位的任一个排在末位．问这样两个元素的排列共有多少种？
4．按5粒不同弹子的排列顺序制造弹子锁，问能生产多少种不同的锁？ 5．从0，1，2，3，4，5，6这7个数字里，每次取出4个来排列： （1）有多少种没有重复数字的排列？ （2）能组成多少个没有重复数字的四位数？
6．文娱晚会，学生的节目有9个，教师的节目有2个，若教师的节目不排在
最后一个，有多少种排法？
7．同一排的电影票6张，3个教师3个学生，按下述要求入座，有多少种坐
法？
（1）师生相间； （2）三个学生要连在一起．
a类的10个元素叫做天干，b类的十二个元素叫做地支．
习题7．2
——————————————————————————————————————————————— 感受·理解 1．写出从a，b，c，d，e这5个元素里每次取出3个元素的所有排列．
2．（1）已知A10 = 10 ? 9 ? … ? 5，那么m = ； （2）已知An = 56，那么n = ． 3．计算：
（1）4A4 + 5A5； （2）A4 + A4 + A4 + A4；
73372A12A5A10A7（3）12； （4）．
10!A124．求下列各式中的n：
3
（1）A2n
3
= 10An； 2
3
1
2
3
4
2m
An + An
（2）3 = 43．
An
53
18 计数原理 第7章 n11129
5．求证： = ? ，并利用这一结果化简 + + …+ ．
(n + 1)!n!(n + 1)!2!3!10!6．（1）一天有6节课，问一天的课程表有几种排法？
（2）上午有4节课，一个教师要上3个班级的课，若不能连上3节，课程
表有几种排法？
7．12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，
每人最多获得一种奖次．试问：获一、二、三等奖的选手一共有多少种可能？
8．将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车
分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？
9．电视台有8个节目准备分两天播出，每天播出4个，其中某电视剧和某专
题报道必须于第一天播出，一个谈话节目必须在第二天播出，共有多少种不同的播出方案？
10．2名教师和5名学生站成一排照相．
（1）若中间的位置必须是教师，共有多少种不同的排法？ （2）若学生甲必须站在队伍的某一端，共有多少种不同的排法？
思考·运用 11．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？
（2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000
大的正整数？
12．（1）7个人站成一排，如果甲必须站在正中间，有多少种排法？
（2）7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有多少种排法？ （3）7人站成一排，甲必须站在乙的右边，有多少种排法？
（4）7个小孩站成两排，其中3个女孩站在前排，4个男孩站在后排，有
多少种排法？
（5）7个人站成两排，其中前排站3人，后排站4人，有多少种排法？ 13．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后
1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，共有多少种不同的排法？
14．如果要以二进制数表示从0到63，那么二进制数需要多少位？从0到100
呢？从0到50 000呢？（提示：只有2位的二进制数有4种可能00，01，10，11，用它们可以表示出十进制数0，1，2，3，于是用4种可能性表示出了数0到3．假若我们有5位的二进制数，那么就有25 = 32种可能性，这将表示出从0到31．）
探究·拓展 15．规定Ax = x(x ? 1)…(x ? m + 1)，其中x ? R，m为正整数，且Ax = 1，这是
排列数An（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广． （1）求A?15 的值；
（2）先证明排列数的两个性质：① An = nAn ? 1，②An + mAn
m
m
m ? 1
m
m ? 1
3mm
0
= An + 1（其
m
中m，n是正整数），再研究这两个性质能否推广到Ax（x ? R，m是
19 选修系列2 正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，试说明理由；
（3）确定函数Ax 的单调区间．
3
20 计数原理 第7章 7.3 组合
对章首语中的最短路径问题，有人将从左上角开始向右下角行进时，到各个交叉路口的走法种数用下图表示：
图7-3-1
思路之一，根据加法原理可知，到每个交叉点的走法是到它的前两个交叉点的走法之和。
思路之二：以从左上角到右下角为例，事实上，要完成这件事情，需要走5条向东的街道和4条向北的街道，也即在9个步骤中选5个步骤向东，其余4个步骤向北。如选第1到5步向东，则第6到9步就向北，这时就先沿着最上面的5条街道向东走，再沿最右边的4条街道向北走。
● “从9个步骤中选5个步骤向东”的方法数是A9吗？用怎样的数学模型表示呢？
为此我们先研究下面几个问题。
（1）从红、绿、黄三种颜料里，任意选取两种，以重量为1∶1的比配成一种新的颜色，能配成几种不同的新颜色？
（2）从4，5，6三个数中，任意选出两个相乘，可得到多少不同的积？
对问题（1），红可与绿配成一种新颜色，又可与黄配成一种新颜色；不用红的，剩下的绿与黄，还可以配成一种新颜色，所以每次取出两种调配，只能配成三种不同的新颜色，即
红绿，红黄，绿黄．
因为用红与绿两种颜料只能配成一种新颜色，不需要考虑所选出两种颜料的位置顺序。
第二个问题，容易看出只有三种不同的积，即
4 ? 5 = 20，4 ? 6 = 24，5 ? 6 = 30．
这个问题可与“从4，5，6三个数字中，每次取出两个组成两位数，可组成多少个不同的两位数？”比较，用4与5相乘，因为被乘数与乘数交换位置，积不变，所以只能得到一个积，即20．而用4与5组成两位数，十位上的数字与个位上的数字交换位置，就
21 5
选修系列2 得到两个不同的两位数，即45和54．就是说，相乘不需要考虑所选出的两个数字的位置顺序，而组成两位数需要考虑所选出的两个数字的位置顺序．
简言之，排列问题与元素的顺序有关，而上面的两个问题不需要考虑元素的顺序．它们都是从给定的3个元素中取出2个元素，不管怎样的顺序并成一组．这类问题，就是本节所要研究的组合问题．
一般地，从n个不同元素中无重复地取出m（m≤n）个不同元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合（Combination）．
思 考
从字母a1，a2，a3，…，a10中取出2个字母的组合，按照例1的写法，写出第20个组合．
123和132是相同的组合吗？“从9个步骤中选5个步骤向东”是排列问题还是组合问题？
怎样才能无重复无遗漏地把所有的组合写出来呢？
例1 写出从a，b，c，d这4个元素中，每次取出2个元素的所有组合．
解 先画一个示意图（图7-3-1）：
a b c d b c d c d
图7-3-1
由此即可写出所有的组合：
ab，ac，ad，bc，bd，cd．
例2 写出从a，b，c，d这4个元素中，每次取出3个元素的所有排列．
解 当取出的元素个数超过所给元素个数的一半时，采用去掉元素的方法进行组合比较方便．
从a，b，c，d中
去掉d，得到组合abc； 去掉c，得到组合abd； 去掉b，得到组合acd； 去掉a，得到组合bcd．
由此可写出所有的组合：
abc，abd，acd，bcd．
例1是按“依次更换元素”（没有遗漏）、“只往后组合，不往前
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