计数原理 第7章 例1 展开下列各式：
1
（1） (1 + x)4； （2）(a ? b)6．
111213141
解 （1）(1 + x)4 = 1 + C4(x) + C4(x)2 + C4(x)3 + C4(x)4
4641
= 1 + x + x2 + x3 + x4．
（2）(a ? b)6 = C6a6 + C6a5(?b) + C6a4(?b)2 + C6a3(?b)3
456
+ C6a2(?b)4 + C6a(?b)5 + C6(?b)6
= a6 ? 6a5b + 15a4b2 ? 20a3b3 + 15a2b4 ? 6ab5 + b6．
例2 求 (x + a)12的展开式中的倒数第4项．
解 (x + a)12的展开式共有13项，所以倒数第4项即是它的第10项．开展式的第10项是
93
T9 + 1 = C12x12 ? 9a9 = C12x3a9 = 220x3a9．
例3 求 (1 + 2x)7的展开式的第4项的系数． 解 因为 (1 + 2x)7的展开式的第4项是
3
T3 + 1 = C7·17 ? 3·(2x)3 = 280x3，
所以展开式第4项的系数是280．
0
1
2
3
思 考
二项展开式的某一项的二项式系数与系数有什么不同？
163
求 (x ? )的二项展开式中的常数项． 例43
2x解 设二项展开式中的常数项为k + 1项，即
1k16 ? 2kk36 ? kkk
Tk + 1 = C6 (x)·(?) = (?1)C6· 2k·x3．
32x根据题意，得
求常数项即是求不含字母的项。
6 ? 2k
3 = 0，
k = 3．
所以二项展开式中的常数项为
205T4 = ?8 = ?2．
练 习 1．(x ? 2y)7的展开式中第3项的二项式系数是
A．C7 B．C7 C．4C7 D．16 C7 2．(x ? 1)10的展开式的第6项的系数是
A．C10 B．?C10 C．C10 D．?C10 3．写出 (m + n)6的展开式．
6
6
5
5
2
3
2
5
33 选修系列2 4．写出 (x3 + 2x)9的第k项．
5．求 (1 ? 2x)6的展开式中，含x2的项．
1
6．求二项式 (x + )6的展开式中的常数项．
x
7．4．2 二项式系数的性质
———————————————————————————————————————————————
当n依次取1，2，3，…时，观察 (a + b)n展开式的二项式系数： (a + b)0 ………………………… 1 (a + b)1 ……………………… 1 1 (a + b)2 …………………… 1 2 1
(a + b)3 ………………… 1 3 3 1 (a + b)4 ……………… 1 4 6 4 1 (a + b)5 …………… 1 5 10 10 5 1 (a + b)6 ………… 1 6 15 20 15 6 1
………………………… ● 二项展开式的系数有什么规律或特点？
从上面的“三角形”我们发现，这些二项系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项系数也相等，这对一般情况成立吗？
在“三角形”中，第1行为1=20，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22，…，第7行的各数之和为26，这说明(a + b)n展开式的二项式系数有何性质？
我们还发现，表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和（图7-4-1）．这说明对应组合数具有怎样的关系？
1 … … … … … 20 1 1 … … … … … 21 1 2 1 … … … … 22 1 3 3 1 … … … 23 1 4 6 4 1 … … … 24 1 5 10 10 5 1 … …25 1 6 15 20 15 6 1 … 26
图7-4-3
(a + b)n展开式的二项式系数
012nCn，Cn，Cn，…，Cn，
有如下性质：
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式Cn = Cn
34 m
n ? m
得到．
计数原理 第7章 （2）各二项式系数的和 所有二项式系数的和等于2n． 证明 （1）根据组合数的公式有
n!m
Cn = ，
m!(n ? m)!
n!n!n ? m
Cn = = ，
(n ? m)![n ? (n ? m)]!m!(n ? m)!
所以
mn ? mCn = Cn．
（2）在二项式定理中，令a = b = 1，就有
012n
2n = Cn + Cn + Cn + … + Cn， 这表明(a + b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n．
另外，我们还发现组合数有下面的性质：
mmm ? 1Cn + 1 = Cn + Cn．
证明 根据组合数的公式有
n!n!mn ? 1
Cn + Cn = + m!(n ? m)!(m ? 1)![n ? (m ? 1)]!n!(n ? m + 1) + n!m
= m!(n + 1 ? m)!(n ? m + 1 + m)n!
= m!(n + 1 ? m)!(n + 1)!
= m![(n + 1) ? m]!
= Cn + 1， 对性质（1）可以这样解释：从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n ? m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n ? m个元素的每一个组合一一对应．所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从n个不同元素中取出n ? m
mn ? mmmm ? 1
个元素的组合数，即Cn = Cn．对Cn + 1 = Cn + Cn，你能构造一个模型加以说明吗？
由上面的“三角形”，还能发现哪些性质？
例1 证明在(a + b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 证明 在展开式
012n
(a + b)n = Cnan +Cnan ? 1b + Cnan ? 2b2 + … + Cnbn
中，令a = 1，b = ?1，得
0123n
(1 ? 1)n = Cn ? Cn + Cn ? Cn + … + (?1)nCn， 即
35 m
有多少种取法，就有多少种剩法．
思 考
选修系列2 0 = (Cn + Cn + …) ? (Cn + Cn + …)，
所以
结合二项式系数的性质，可知奇（偶）数项的二项式系数的和是2n ? 1。
0213
Cn + Cn + … = Cn + Cn + …，
即在(a + b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
在二项式定理中，如果设a = 1，b = x，则得到公式：
12r
(1 + x)n = 1 + Cn x + Cn x2 + … + Cn xr + … + xn．
2
当| x |很小时，x2，x3，…，xn接近于0，并且在n不太大时，Cn 3
x2，Cn x3，…，xn的值也接近于0．此时可用1 + nx作为(1 + x)n的近似值，即
(1 + x)n ? 1 + nx．
例2 利用(1 + x)n ? 1 + nx，求下列各数的近似值：
（1）(1.000 3)5； （2）(0.998)4．
解 （1）(1.000 3)5 = (1 + 0.000 3)5 ? 1 + 5 ? 0.000 3 = 1.001 5． （2）(0.998)4 = (1 ? 0.002)4 ? 1 + 4 ? (?0.002) = 0.992．
0213
练 习
1．填空：
（1）已知C15 = a，C15 = b，那么C15 = ； （2）(x + y)10的各二项式系数的最大值是 ； （3）C64 + C64 + … + C64 = ；
012nCn + Cn + Cn + … + Cn
（4）012n + 1 = ．
Cn + 1 + Cn + 1 + Cn + 1 + … + Cn + 12．用(1 + x)n ? 1 + nx，求下列各数的近似值： （1）(1.001)6； （2）(0.999 6)8． 3．证明1 + 2Cn + 4Cn + … + 2n ? 1 + 2nCn = 3n． 4．证明Cn + Cn + Cn + … + Cn = 2n ? 1（n是偶数）．
0
2
4
n
1
2
n
1
3
63
5
9
10
习题7．4
——————————————————————————————————————————————— 感受·理解 1．已知0 < p < 1，写出[p + (1 ? p)]n的展开式．
2．用二项式定理展开：
（1）(a + b)9； （2）(3．化简：
（1）(1 + x)5 + (1 ? x)5；
1
（2）(2x2
3
x2
? )7． 2x
+ 3x
?11
4
2) ? (2x2
? 3x
?
142)．
4．（1）求 (1 ? 2x)15的展开式中前4项； （2）求(2a3 ? 3b2)10的展开式中第8项；
36 计数原理 第7章 （3）求 (
x1
+ )12的展开式的中间一项； 3x
（4）求 (xy ? yx)15的展开式的中间两项．
6．求下列各式的二项展开式中指定各项的系数： 11
（1）(1 ? )10的含 5 的项；
2xx1
（2）(2x3 ? 2)10的常数项．
2x15
7．(x ? )n 的展开式中第4项是常数项，求展开式的中间项．
x
思考·运用 8．若(2x + 3)4 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4，求(a0 + a2 + a4)2 ? (a1 + a3)2的值．
9．用二项式定理证明：
（1）(n + 1)n ? 1能被n2整除； （2）9910 ? 1能被1 000整除． 10．证明：
1·3·5·…·(2n ? 1)1
（1）(x ? )2n的展开式中常数项是(?2)n·；
xn!
1·3·5·…·(2n ? 1)
（2）(1 + x)2n的展开式的中间一项是(2x)n．
n!
11．已知(1 + x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的
二项式系数． 12．在二项式(x +
中含x的项．
13．求证2n ? Cn·2n ? 1 + Cn·2n ? 2 + … + (?1)n ? 1Cn14．已知(1 ? 2x)7 = a0 + a1x + a2x2 + …+ a7x7． （1）求a0的值．
（2）求a1 + a3 + a5 + a7的值．
探究·拓展 15．从函数角度看，Cn可看成是以r为自变量的函数f(x)，其定义域是{0, 1, 2,…,
n}．
（1）画出函数?(r) = C7 (r = 0, 1, 2,…, 7)的图象；
n ? r + 1
（2）证明f(r) = f(r ? 1)；
r（3）(a + b)n的展开式中哪一项二项式系数最大？
r
r1
2
n ? 1
12x
4
)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式
·2 + (?1) = 1．
n
37