选修系列2
阅 读
杨辉三角
在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里，记载着类似下面的表（图7-4-1）：
一 一 一 六 五 十 五一 一 一 一 四 十 二 十一 二 一 三 六 十 十 五三 一 四 五 六 一 一 一 《释锁》是书名，释锁一词是我国宋元数学家开方或解数字方程的代用名词．
图7-4-1
这个表称为杨辉三角．在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它．这表明我国发现这个表不晚于11世纪．
在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal，1623~1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．
38 计数原理 第7章
本章回顾
本章学习了分类计数加法原理和分步计数原理，并运用两原理研究了排列和组合问题，并运用排列、组合知识解决了相关的应用问题。在杨辉三角形的基础上，根据多项式乘法的运算法则建立了二项式定理，并研究了二项式定理的一些简单应用。
本章结构为
计数虽始于原始人结绳记事，但现代人的日常生活、现代科学技术，如计算机程序设计、军事密码设定、集成电路的布线安排及交通和航空部门的航班合理设置等，都离不开计数，计数又是与人们生活密切相关的数学分支——概率论和数理统计基础。
排列组合、二项式定理等知识不仅能帮助我们解决社会生活中的实际问题，而且在数学的其它领域也有着广泛的应用。
39 背 景 两个基本原理 排 列 组 合 二项式定理 应 用 选修系列2
复习题
感 受·理 解
1．（1）某农科院为了考察三个小麦品种和四个水稻品种，要在土质相同的土
地上引种试验，问应安排试验小区几块？
（2）某农科院为了考察玉米、小麦、水稻的品种，要在三块土质不同的试验小区上引种试验，问有几种不同的试验方法？
2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，用这13个点可确定多
少个不同的平面？
3．从集合M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}中分别取两个不同的数作为对数的底数与
真数，则一共可得到多少个不同的对数？
4．6人同时被邀请参加一项活动．必须有人去，去几人自行决定，共有多少
种不同的去法？
5．某电子器件由四个电阻串联而成，形成回路（如图），共有5个焊接点，如
果焊接点脱落，整个电路就会不通，问焊接点脱落的可能情况共有多少种？
（第2题）
6．4个司机和4名售票员分别上四辆公共汽车，每辆汽车上一名司机，一名售
票员，共有多少种不同的分法？
7．3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6。将这三张卡片排成
一排，可构成多少不同的三位数？ 8．由10个元素组成的集合有多少个子集？
9．4人各写一张卡片互相赠送，有多少种不同的赠送方案？ 10．由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个不同的奇数？
11．从4台A型和5台B型电视机中任选3台，要求A，B两种型号的电视机都有，
有多少种不同的选法？
12．求下列各展开式中的指定项：
2
（1）（x+ ）6的第4项；
x
（2）（2x+5）4的第3项。
x1
13．在 ( ? 3)8的展开式中常数项是（ ）．
2
x
A．?28 B．?7 C．7 D．28 14．求证：9910-1能被100整除。
55
15．计算：(a +1)-(a -1) 16．求证：3+Cn·3
2n1
2n-2
+ Cn·3
2
2n-4
+…+ Cn·3+1=10.
n-1
2n思 考·运 用
17．已知（3x-1）7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7,求 （1） a0+a2+a4+a6;
40 计数原理 第7章 （2） a1+a3+a5+a7;
（3） |a0|+|a1|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|.
18．某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率11％，按单利
计算，10年后收回本金和利息。另一种年利率9％，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息。问：哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元？ 19.把编号为1，2，3，4的四个球，分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子里
，每盒一球，那么至少有一个盒子的编号与所放的球的编号相同的放法有多少种？ 20．求（x+3x+2）展开式中含x项的系数。
21．A，B，C，D，E这5位同学进行网页设计比赛，决出了第一至第五名的名
次．A，B两位同学去询问名次，主考官对A说：“很遗憾，你和B都未拿到冠军．” 对B说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5位同学的名次排列共有多少种不同的情况． 22．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测
试，直到4只次品全测出为止．求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？
23．某国际旅行社现有翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会日语，另2
人既会英语又会日语．现从这11人中选4人当英语翻译，4人当日语翻译，共有多少种不同的选法？
24．在一块倾斜的三角形木板上钉一些铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，第
1排有1个空隙，第2排有2个空隙，……，第n排有n个空隙（如图）．让弹子从第一排的空隙中自由向下滚动，若弹子碰到钉子后就滚进这个钉子的左孔或右孔，试探究弹子滚进第1排、第2排、……、第n排每个孔的所有可能的道路数？
25. （探索题）对问题“有一台阶共10级，每次可跨上1级或2级，那么要
走上10级，共有多少种走法？”，可根据到第10级台阶所需的步数进行
（第4题）
2
5
探 究·拓 展 分类求解（自行解答）。
还可以将此问题一般化，研究“有一台阶共n级，每次可跨上1级或2级，那么要走上n级，共有多少种走法？”，并设结论为F（n）。
（1）求F（0）和F（1）的值；
（2）F（n）与F(n-1), F(n-2)有怎样的关系？
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