计数原理 第7章 顺序表示不同的信号．试写出所有的信号．
3．a，b，c，d排成一行，其中a不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排
第四，写出所有满足条件的排列．
4. 1986年1月28日，美国挑战者号航天飞机在发射72秒种后发生爆炸。事后宇航局发现问题出在火箭推进器中的密封圈发生了破裂。航天飞机的每个推进器有3个密封圈，如果三个皆破裂，则火箭爆炸。
试写出某推进器中的1，2，3号密封圈发生破裂的所有可能的排列。
对3个元素的排列，我们很容易用树形图一一列举，但对从1到9九个数字从选出5个数字的所有排列，若用树形图列举就比较麻烦了。这时应该怎么办呢？
从前面的排树形图的过程可以看出，处理排列问题可分步进行。对此问题可分3个步骤，从第1位到第3位分别选排：第1位可从这9个元素中任意取出一个来排，有9种方法；第2位从剩下的8个元素里任选一个来排，有8种排法；第3位从剩下的7个元素里任选一个来排，有7种排法（如图7-2-3）．
9种方法 8种方法 7种方法 6种方法 5种方法
第1位 第2位 第3位 第4位 第5位
三个位置排毕，构造一个排列的事件完成，根据乘法原理可知从9个元素中每次选取3个元素共可排成的排列的个数为
9 ? 8 ? 7 ×6×5= 15120，
即有15120种不同的排列．
一般地，我们把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用
m5
符号An表示，如A9 = 15120．
图7-2-5
思 考
“排列”与“排列数”有何区别与联系？
对一般情况，从n个元素中，每次取出m个元素的排列，可把这m个元素所排列的位置划分为第1位，第2位，……第m位（如图7-2-4）．
n种方法 n ? 1种方法 n ? 2种方法 n ? m + 1种方法 第1位 第2位 第3位 …… 第m位
图7-2-6
13 选修系列2
第1步 第1位可以从n个元素中任选1个来排，有n种方法； 第2步 第2位只能在余下的n ? 1个元素中任选1个来排，有n ? 1种方法；
第3步 第3位只能在余下的n ? 2个元素中任选1个来排，有n ? 2种方法；
……
第m步 第m位只能在余下的n ? (m ? 1) 个元素中任选1个来排，有n ??m + 1种方法．
m个位置排毕，事件完成，根据乘法原理，共有
n(n ? 1)(n ? 2)…(n ? m + 1)
种填法．
因此，我们得到排列数公式
排列数符号An在m
有的书中记为Pn．
m
An = n(n ? 1)(n ? 2)…(n ? m + 1)，
其中n，m ? N*，且m≤n．
排列数公式有如下特点：（1）它是m个连续正整数的积；（2）第一个因数最大，它是A的下标n；（3）第m个因数，即最后一个因数最小，它是A的下标n减去上标m再加1．
n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．在排列数公式中，当m = n时，即有
n
An = n·(n ? 1)·(n ? 2)·…·3·2·1，
称为n的阶乘（Factorial），通常用n!表示，即
n
An = n！．
例3 计算：
3534
（1）A9； （2）A5； （3）A5； （4）A35． 解 （1）A9 = 9 ? 8 ? 7 = 504．
5
（2）A5 = 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 120．
3
（3）A5 = 5 ? 4 ? 3 = 60．
4
（4）A35 = 35 ? 34 ? 33 ? 32 = 1 256 640．
当排列数较大时，可用计算器或计算机来计算．
（1）计算器计算排列数的方法
4
按35 SHIFT nPr 4 = 键，得A35 = 1 256 640；
5
按 5 SHIFT x! = 键，得A5 = 5！= 120．
3
m
右边的第一个因数是n，后面的因数都比它前面一个因数少1，共有n个因数相乘．
CALCULATOR & EXCEL 14 计数原理 第7章 （2）在Excel中计算排列数的方法
在单元格中输入“=PERMUT(35, 4)”，可得A35 = 1 256 640；
5
在单元格中输入“=FACT(5)”，可得A5 = 120．
或通过“插入/函数/PERMUT（或FACT）”来操作．
4
A5还可以这样计算，A5 =
m3
3
图7-2-7
5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 15!
= 3!．一般地，
2 ? 1
An = n(n ? 1)(n ? 2)…(n ? m + 1)
n·(n ? 1)·(n ? 2)·…·(n ? m + 1)·(n ? m)·…·2·1 =
(n ? m)·…·2·1
n!
= ．
(n ? m)!因此，排列数公式还可以写成
为了使公式在m = n时也能成立，我们规定0! = 1．你能解释它的实际意义吗？
An = mn!． (n ? m)! 例4 计算：
562A9 ? 3A9(n ? 1)!（1）9． 6； （2）m ? 1A9 ? A10An ? 1·(n ? m)!A9(2 + 3 ? 4)14A9解 （1）原式 = 5 = 5 = 1．
A9(4! ? 10)14A9 （2）原式 =
(n ? 1)!(n ? 1)!
= = 1．
(n ? 1)!(n ? 1)!
·(n ? m)!
(n ? m)!
5
5
例5 证明 (n + 1)! ? n! = n·n!，并且用它来化简
1 ? 1! + 2 ? 2! + 3 ? 3! + … + 10 ? 10!． 证明 因为
(n + 1)! ? n! = [ (n + 1) ? 1 ] ? n! = n ? n!，
所以等式成立．
1 ? 1! + 2 ? 2! + 3 ? 3! + … + 10 ? 10!
= (2! ? 1!) + (3! ? 2!) + (4! ? 3!) + …+ (11! ? 10!) = 11! ? 1．
练 习
1．计算：
（1）A12； （2）A6；
4
6
15 选修系列2 4
（3）A9
3
? A9；
A12 （4）7．
A12
3 4 5 6 7 8 8
2．计算下表中的阶乘数，并填入表中：
n n! 2 3．18 ? 17 ? 16 ? … ? 9 ? 8等于（ ）．
A．A18 B．A18 C．A18 D．A18． 4．下列各式中，不等于n! 的是（ ）．
1n + 1nnn ? 1
A．An B．An + 1 C．An + 1 D．nAn ? 1
n + 1
8675A8 + A6An ? An5．（1）计算 2 = 89，求n． 4； （2）已知 5A8 ? A10An
8
9
10
11
一个排列对应一场比赛。
例6 2004年，首届中超足球联赛共有12支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共要进行多少场比赛？
分析 由于任何2队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，表明比赛与主客场的顺序有关，所以本题相当于从12个不同元素中任取2个元素的一个排列．
解 原问题对应于从12个不同元素中任取2个元素的一个排列，因此总共进行的比赛场次是
2
A12 = 12 ? 11 = 132（场）． 答 共要进行132场比赛．
例7 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1．
本，共有多少种不同的送法？
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，．
共有多少种不同的送法？
解 （1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是
3
A5 = 5 ? 4 ? 3 = 60．
注意“5本”和“5种”的差别，后者相当于可放回的．
思 考
（2）送给第个同学1本书有5种不同的选购方法，送给第2、第3个同学1本书，仍各有5种不同的选购方法，因此，根据乘法原理，送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是
5 ? 5 ? 5 = 125．
答 分别有60种和125种不同的送法．
上例中的两个问题有什么区别？另举一例加以说明．
例8 用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的三位数？
16 计数原理 第7章 解法1 （1）由于百位上的数字不能是0，因此百位的位置是一个特殊位置，可先排这个特殊位置上的数字，再排十位和个位上的数字，把这个问题分成两步完成：
第1步 先排百位上的数字，它可从1到9这9个数字中任选1
1
个，有A9 种选法；
第2步 再排十位和个位上的数字，它可从余下的9个数字中
2
任选2个，有A9 种选法（图7-2-6）．
根据乘法原理，所求的三位数的个数是
12
A9·A9 = 9 ? 9 ? 8 = 648．
解法2 由于0是一个特殊元素，因此可先排这个特殊元素，符合条件的三位数可以分成3类（图7-2-7）：
322A种方法 A种方法 A999种方法 十位 个位 百位百位 十位 0 百位 0 个位 （1） （2） （2）
图7-2-6
3
第1类 每一位数字都不是0的三位数有A9 个；
2
第2类 个位数字是0的三位数有A9 个； 第3类 十位数字是0的三位数有A9 个． 根据加法原理，符合条件的三位数的个数是
322
A9 + A9 + A9 = 648．
3
解法3 从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A10，其中
2
0在首位的排列数为A9，这些排列不能构成三位数，因此，所求的三位数的个数是
32
A10 ? A9 = 10 ? 9 ? 8 ? 9 ? 8 = 648．
答 可以组成648个没有重复数字的三位数．
在上面的648个数中，有多少个数是奇数？
例9 2名女生、4名男生排成一排．
（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？ （2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？
解 （1）由于2名女生必须相邻，于是可以将2名女生看成1个
5
元素，与4名男生共5个元素排成一排，不同的排法有A5 种，又因
2
为2名相邻的女生有A2 种排法，因此不同的排法数共有
A5 A2 = 120 ? 2 = 240．
17 5
2
2
A9种方法 1A9种方法 2百位 十位 个位 图7-2-6
解法1与解法2为直接法，解法3为间接法．
思 考